[=] 수학 수행평가 문항의 원형

목 차

1. 서론
2. 수행평가
1) 수행평가의 정의
2) 수행평가 과제 유형 및 평정법
3) 수행평가의 문항 제작
3. 수행평가 과제의 원형(prototype)
1) 과제 제작 배경
2) 평가 과제의 원형
3) 평가 과제 원형의 예
■ 과제 1. 수학 ≠ 계산
■ 과제 2. 새로운 수학정의의 탐구 및 교구의 선택
■ 과제 3. 여러 가지 답 : 거꾸로 풀기
■ 과제 4. 다양한 수학영역의 활용 : 수학적 연결성
■ 과제 5. 구체적 조작물을 통한 수학 정리의 발견과 일반화
4) 평가기준의 예
가. 과제 2. 직각육각형
4. 결론
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발행자명 韓國敎員大學校 數學敎育硏究所  
학술지명 靑藍數學敎育 
ISSN  
권 7 
호  
출판일 1998.  

 

 

 

수학 수행평가 문항의 원형

권오남
2-606-9801-04

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1. 서론
교육 평가는 단순히 '성적 매기기'나 '등수 정하기'를 의미하는 것은 아니다. 수학의경우도 창의성이나 문제 해결 능력 등 고차적 사고 능력이나 전인적 성장, 발달에 대한 평가 없이 단순한 등급 매기기에 치중한다면 수학 교육의 본질, 나아가 학교 교육의 본질이 경시되고, 시험만 찰 치르면 된다는 식의 기회주의적 사고 방식이나 지나친 경쟁심을 조장할 수 있다. 따라서 학생들의 다양한 능력과 적성을 개발하고 창의성이나 문제 해결 능력과 같은 고등 사고 기능을 신장시키기 위해서는 기존의 지필식 평가 방법을 탈피하여 여기에 어울리는 다양한 대안적 평가 형태가 필요하다 하겠다.

미국의 경우, 수학 교육 전반을 개혁하려는 노력은 계속되어 오고 있다. 교육 과정과 교수 방법에 이어 이제는 평가 부분에 개혁의 초점이 맞춰지고 있으며, 전문가들 뿐만 아니라 일반 국민들 역시 평가에 대해 비상한 관심을 보이고 있다. 평가를 개혁하기 위해서는 이제껏 시행되어 온 수백만 명의 학생이 매년 똑같이 배운 지식 위주의 수학 내용에 대해 단답식 응답 형태가 이제는 근본적으로 변화되어야 한다고 믿는다. 평가의 내용, 평가의 형식, 평가에 대한 관점이 근본적으로 변화돼야 한다는 것이다.

한때는 금기시되어 왔던 국가 수준의 교육 과정이 지금은 미국 국민 모두가 그 필요를 공감하고, 대안적 학교 구조와 교사자격제도의 혁신을 공공연히 논의하고 있다. 따라서 학생의 진정한 성장을 평가한다는 것은 규준에 기초한 수행(performance)을 하느냐를 판단하는 것을 의미하게 되었다. 이러한 배경을 반영한 것이 1989 MSEB(수학교육 협의회)의 「모두가 중요하다(Everybody Counts)」와 두 달 후에 출간된 NCTM의 「수학교육 과정과 평가의 새로운 방향(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics)」 두 책이다. 여기에서 강조하고 있는 것들은 우선, 검사는 측정하기 쉬운 것을 측정하는 것이 아니라 학습할 만한 가치가 있는 것을 측정해야 한다는 것과 성장은 평가로부터 지속적 피드백을 받아서 일어나고, 학교는 국민과 학생 양쪽 모두에게 책임을 져야 한다는 것이다. 또한 학생들이 진정으로 학습하고 있는 것을 평가하기 위해 새로운 평가 방식이 필요하다는 점을 제기하면서, 수학 교육 과정의 성취 목표를 반영하는 평가 도구에 기초하여 평가하는 것이 중요하다는 점을 밝히고 있다.

우리의 경우도 현재의 6차 교육 과정에서 뿐만 아니라, 2000년도 부터 실행하게될 제 7차 교육 과정에 이르기까지 학생의 수학적 힘을 기르고, 수학적 성향과 창의성을 계발하는 교육을 강조하고 있다. 국립교육평가원(1996)에서는 학생들이 얼마나 많은 정보를 가지고 있고 이를 상황에 잘 적용할 수 있는지, 수학적 언어와 기호 등을 사용하여 주어진 상황이나 아이디어를 얼마나 잘 전달할 수 있는지를, 또한 연역이나 귀납적 추론을 할 수 있는 능력과 창의적 사고력, 수학적 개념과 기술 및 절차를 동시에 적용하는 능력에 초점을 맞추는 평가가 이루어져야 한다고 보고하였다. 한편, 서울시교육청은 '창의력 신장을 돕는 중학교 수학과 학습 평가 방법'이라는 연구보고서를 통해 선발적 교육관보다는 발달적 교육관에 근거한 평가가 이루어져야 하고, 현재의 단편적이고 낮은 수준의 지식, 이해보다는 종합적이고 고차적인 사고력, 문제 해결력을 평가해야 한다고 강조한다. 또한, 지필 검사 이외의 다양한 평가 방법을 활용하여 수학적 사고 과정과 문제 해결 과정도 평가해야 하고, 인지적 영역뿐만 아니라 정의적 영역에서의 능력도 평가해야함을 강조하고 있다. 그러나, 그 동안의 평가 방식이었던 객관식 다지 선다형으로는 단순한 지식의 습득 여부는 가릴 수 있으나 창의력과 문제 해결력, 비판적 사고, 분석력, 정보처리능력, 통합적인 사고 등의 고차적 사고력을 평가하기는 어렵다는 것을 이미 주지하는 바이다.

위와 같은 흐름에서 대안적 평가 방법의 하나로 제안되는 것이 수행평가인데, 이 논문에서는 수행평가의 정의와 그 의의 및 특징을 간단히 고찰하고, 수행평가의 의미를 반영할 수 있는 실질적인 문항의 원형 다섯 가지 과제의 예를 통하여 제시하고자 한다. 이는 수학교육과정 상의 실질적 적용이라는 측면보다는 과제를 개발하고 제작하는 담당자 및 교사들을 위한 것이라 할 수 있겠다.

2. 수행평가
1) 수행평가의 정의
교육의 활동에 있어서 학습자 및 학습을 어떤 관점에서 보느냐 하는 것은 교육의 목적이나 내용, 방법, 평가의 성격과 방향을 결정하는데에 막대한 영향을 미친다. 따라서 학습자관 및 학습관이 어떻게 변화되어 왔는지 알아보는 것은 수행평가의 배경 및 정의에 접근할 수 있는 한 가지 방법이라 하겠다.

백순근(1997)은 전통적인 학습자관을 백지설과 생득설이 대표하는 것으로 보았고, 전통적인 학습자관에서는 외부의 세계나 지식이 개별적인 인간과는 독립적으로 존재하는 것이기 때문에 학습자는 객관적인 존재나 지식을 수동적으로 받아들이거나 회상하는 것으로 믿었다. 따라서, 학습자는 교사가 제시하는 지식이나 정보를 수동적으로 받아들이거나 재생하는 존재이고, 학습을 한다는 것 또한 객관적 지식이나 정보를 단계적으로 첨가하고, 기억하는 것으로 보았다. 이에 대해 최근의 인지심리학자들에 의하여 새롭게 주장되는 구성설과 초보-전문가 모형의 학습자관에서는 외부의 세계나 지식이 개인과 별개로 존재하는 것이 아니라, 개개인에 의해서 창조되고, 구성되고, 재조직되는 것으로 보았다. 따라서, 학습자는 능동적으로 자신의 경험을 재구성하고, 자신에게 의미있는 지식이나 정보를 적극적으로 학습한다는 것이다. 이들에 의하면 학습은 학습자가 '이해'할 때 촉진되는 것이고 이해란 새로운 정보나 지식을 학습할 때 학습자가 이미 가지고 있는 자신의 인지 구조와 상호작용을 통해 새로운 형태의 인지 구조를 형성하는 것이다. 교수·학습의 목적은 전통적으로 중시되어 왔던 지식을 가르치고 배우는 것이 아니라, 개별 학습자가 보다 조직적이고 체계적인 인지 구조를 가질 수 있도록 해야 하는 것이다. 후자의 인지심리학적인 입장이 오늘날 지지를 얻고 있는 견해라고 볼 수 있다. 현재에는 위와 같이 학습관과 학습자관이 학습자 중심 학습관과 능동적인 학습자관, 발달적인 교육관으로 변화·발달하고 있으며, 이러한 시대적 요구를 충족시키기 위한 새로운 평가체계가 요구 되고 있다. 학습자 중심의 능동적 학습관을 바탕으로하는 평가 방법의 하나가 수행 평가인 것이다.

일반적으로 수행(performance)이라 함은 구체적인 상황하에서 실제로 행동을 하는 과정이나 그 결과를 의미하기는 하지만 수행평가에 관한 정의는 그리 간단하지 않다. NCTM(1995)은 평가규준(Assessment Standards)에서 수행을 '그 과제를 하는 동안 그 사람의 지식이나 판단을 드러나게 되는 물리적인 활동을 완성하거나 의미있는 산물을 이루는 것'으로 규정하고 있다. Stenmark(1991)는 학생들에게 수학적 과제, 프로젝트나 탐구 등의 '수행과제를 하도록 하여 그 산출물을 근거로 학생들이 실제로 아는 것과 학생들이 할 수 있는 것이 무엇인지 평가하는 것'을 수행평가로 보고 있다. Smith(1993)는 대안적 평가 방법으로 수행에 기초한 평가와 포트폴리오(portfolio)의 두가지를 제시하고 있으며, 수학에서 수행에 기초한 평가는 학생들이 실제 '행하는 것'과 관련된 것으로 규정하고 있다. 한편, 국립교육평가원(1996)은 수행평가를 '학생 스스로가 자신의 지식이나 기능을 나타낼 수 있도록 산출물을 만들거나, 행동으로 나타내거나, 답을 작성(구성)하도록 요구하는 평가 방식'이라고 정의하였다. 결국 수행평가는 실제 생활과 관련된 과제를 해결하기 위해서 학생들 자신이 알고 있는 수학적 지식이나 방법을 사용하고 경우에 따라서는 물리적인 활동을 수행하기도 하며, 교사는 그 과제의 산출물 등을 통해 학생의 수학적인 능력을 평가하는 것으로 요약할 수 있다(장경윤 외, 1996).

국립교육평가원(1996)은 창의성이나 문제해결력과 같은 고등 사고 기능을 파악하고 개별적인 학습을 신장하기 위해 사용될 수 있는 수행평가의 일반적인 특징을 다음과 같이 정리하였다. 첫째, 수행평가는 학생이 문제의 정답을 선택하게 하는 것이 아니라, 자기 스스로 정답을 작성하거나 행동으로 나타내도록 하는 평가 방식이다. 둘째, 수행평가는 추구하고자 하는 교육 목표를 가능한 한 실제 상황하에서 달성할 수 있는지의 여부를 파악하고자 한다. 셋째, 수행평가는 교육의 결과뿐만 아니라 교육의 과정도 함께 중시하는 평가 방식이다. 넷째, 수행평가는 단편적인 영역에 대해 일회적으로 평가하기보다는 학생 개개인의 변화, 발달 과정을 종합적으로 평가하기 위해 전체적이면서도 지속적으로 이루어지는 것을 강조한다. 다섯째, 수행평가는 개개인을 단위로 해서 평가하기도 하지만 집단에 대한 평가도 중시한다. 여섯째, 수행평가는 학생의 학습 과정을 진단하고 개별 학습을 촉진하려는데 그 목적이 있다. 일곱째, 수행평가는 학생의 인지적 영역뿐만 아니라 학생 개개인의 행동 발달 상황이나 흥미, 태도, 등 정의적인 영역, 신체적인 영역에 대한 종합적이고 전인적인 평가를 중시하고 있다.

2) 수행평가 과제 유형 및 평정법
수행평가의 유형에는 여러 가지가 있는데 그 중 널리 사용되고 있는 것들이 서술형(주관식) 검사, 논술형 검사, 구술 시험, 찬반 토론법, 실기 시험, 실험·실습법, 면접법, 관찰법, 연구 보고서, 포트폴리오 등이다.

Stenmark(1991)는 수학에서 사용 가능한 수행평가의 과제로 답이 여러 개이거나 또는 그 문제를 해결하는 데 여러 가지 접근이 있을 수 있는 과제, 실제 생활과 관련이 있고 적용이 가능한 문제, 그리고 문제 해결에 사용된 과정이나 최후 결과를 교사로 하여금 검사해 보도록 하는 과제를 지적하고 있다. Smith(1993)등은 수행평가 방법으로 열린 문제(open-ended question), 탐구 문제와 프로젝트, 쓰기 활동, 교사의 관찰 및 면접, 개량된 다지선다형 문제를 제시하고 있다. 이러한 수행평가 과제들이 갖는 특징을 요약하면, 먼저 학생들은 그들이 배운 과정을 드러내 보여야 하며, 보여져야 할 과정이 사전에 자세히 열거되고, 그것은 직접 관찰이 가능한 것이어야 하며, 수행의 결과는 규정된 적정 기준에 따라 점수화되는 것이다(장경윤 외, 재인용, 1996).

Randall & Lester (1992)등이 제시한 수행평가의 채점법은 성취 행동 전체를 단위로 하여 채점자가 전체적인 관점에서 판단하여 순위를 매기는 총괄적 채점법(holistic scoring)과 성취 행동을 평가 기준표에 열거된 요소와 배점에 따라 채점을 하고 요소별 득점을 합산하여 총점으로 평가는 분석적 채점법(analytic scoring)이 있다.

총괄적 채점법은 답만이 아닌 풀이 전체를 대상으로 하는 것이기 때문에 총괄적이며, 문제 해결에 수반되는 사고 과정과 관련된 특정한 기준에 의하여 해결 과정 전체에 대하여 하나의 점수를 배정하므로 단일화된 것이다. 이들이 제안한 총괄적 채점법의 기준을 정리하면 다음과 같다.

0점 : 답안이 빈칸으로 남아 있거나 틀린 답만을 써 놓고 풀이 과정을 쓰지 않았을 경우, 문제를 이해하지 못하여 단순히 자료만을 베꼈을 경우.

1점 : 답을 얻으려고 시도는 하였으나 적절한 전략을 선택하지 못하고 부적절한 전략으로 시도하여 수행하지 못하는 경우.

2점 : 부적절한 전략을 시행하여 틀린 답을 얻었으나 풀이 과정에서 문제의 이해를 어느 정도 나타내는 경우, 정확한 답을 제시하더라도 풀이 과정이 없거나 이해할 수 없을 경우.

3점 : 적절한 전략을 선택하여 올바른 수행을 하긴 했으나 여러 가지 부분적 오류로 인해 답이 틀린 경우.

4점 : 적절한 전략을 선택하고 실행하여 옳은 답을 얻은 경우, 옳은 답을 냄에 있어서 약간의 실수가 있었더라도 그것이 문제를 이해하고 전략을 시행하는 것에 크게 관련되지 않은 경우.

1996년에 연구 보고된 Wisconsin 대학의 수행평가(Wisconsin Student Assessment System)에서는 수학과 언어·예술 두 분야의 수행평가 과제를 개발하여 실시하였는데, 이들은 수학의 경우에 총괄적인 방법인 6단계 채점법을 사용하였다 채점의 각 단계 중 0점부터 4점까지는 위에서 제시한 단계 기준과 비슷하나 마지막 높은 단계에서 완벽하고 능숙한 답을 넘어 창의적인 답안으로 진일보한 경우에 대해 5점을 줌으로써 앞서 제시한 것보다 세부적인 채점 기준을 제시하였다.

총괄적 채점은 학생들의 답안에 대하여 비교적 신속한 평가를 할 수 있으며, 해답 뿐만 아니라 과정을 중시하고, 답안을 채점하는 구체적인 기준을 제공하며, 수행에 대하여 단일한 점수를 주는 것 등의 장점이 있는 반면에 학생의 특정한 장점이나 단점을 날카롭게 지적하지 못하고, 일부 학생의 답안은 사고 과정에 대하여 충분한 정보를 주지 못하기 때문에 교사가 확신을 가지고 채점을 할 수 없으며, 문제 해결의 사고 과정에 대하여 다른 가중치를 적용할 수 없는 등의 단점이 있다.

분석적 채점법은 문제 해결 과정의 여러 국면에 대하여 각각 점수를 할당하는 방법이다. 분석적 등급을 개발하기 위해서는 문제 해결 과정의 국면을 찾는 단계와 각 국면에 대하여 가능한 점수의 범위를 - 예를 들어 0점에서 2점까지 부여 - 정하는 단계로 나누어 실행하는 것이 일반적이다. Indiana대학(1992)에서 시행한 수행평가의 채점법도 평가의 초점을 수학적 추론, 개념적 지식, 의사소통, 절차의 네 가지 범주로 나누어 각각의 항목에 대해서 4단계의 1, 2, 3, 4점을 배정한 분석적 채점법이다.

분석적 채점의 장점은 단순한 답이 아닌 문제 해결의 여러 과정을 고려하고, 학생들의 답에 대하여 점수를 배정하는 수단을 제공하며, 교사가 특정한 영역에 있어서 학생의 강점과 취약점을 지적하는데 유익하지만, 학생의 답이 개개인의 사고 과정에 대하여 충분한 정보를 주지 못하므로 교사가 확신을 가지고 한 두개의 범주에 대하여 점수를 배정할 수 없는 단점을 갖고 있다(장경윤 외, 1996).

총괄적 채점법과 분석적 채점법이 가질 수 있는 장·단점을 살펴보았는데, 평가하고자하는 항목에 가장 적합한 방법이 무엇인지 결정하여 선택하는 것이 좋을 것이고, 때로는 서로의 장점들을 살려 보완하는 방법을 강구하여 채점하는 것도 바람직할 것이다. 이제 제시하게 될 몇 가지 과제들에 대한 채점법은 총괄적 채점법에 바탕을 두지만 총괄적 채점과 분석적 채점의 서로 다른 두 입장을 적절하게 수용한 형태이다.

3) 수행평가의 문항 제작
수행평가의 문항을 제작할 때에는 평가하려는 능력이 무엇인지, 평가하려는 능력을 측정하는 데 수행평가가 적절한 평가인가, 개발된 수행평가 도구가 신뢰도와 타당도, 공정성을 갖고 있는지 깊이 생각해 보아야 한다. 국립교육평가원(1996)은 수행평가의 문항 제작에 필요한 기본 절차를 제시하였다. 첫째, 평가의 이유를 명확히 밝힌다. 평가 목적과 평가의 결과를 활용할 사람, 평가의 결과용도, 그리고 평가 대상을 구체적으로 서술하여야 한다. 둘째, 평가할 성취 행동을 명확히 밝힌다. 평가의 내용이나 기능을 구체적으로 서술하고, 평가할 성취 행동의 유형을 선정하며, 평가의 기준을 열거해야 한다. 셋째, 평가의 방법을 설계한다. 이때는 문제의 형태와 평가 시행의 공고 여부를 결정하고, 평가 자료 수집의 량도 결정하는 단계이다. 넷째, 채점 계획을 수립한다. 이 단계에서는 채점 방법과 채점자를 결정하고 점수 기록 방법을 명확히 밝혀야 한다. 수행평가의 특징이면서 난점이 될 수 있는 부분이 채점의 객관성 확보가 어려운 것이었다. 따라서, 문항 제작자는 채점 계획을 명확하고 분명하게 세워서 신뢰도와 일관성을 유지하여야 한다.

3. 수행평가 과제의 원형(prototype)
이 장은 새로운 평가과제의 원형을 보여주는 데 목적이 있다. 다시 말해, 지금 당장 사용할 수 있는 도구를 제시하는 데 주 목적이 있는 것은 아니다. 새로운 평가도구가 어떠해야 하는가를 예시하기 위해 아직도 개발과정에 있는 평가과제를 소개하는 것이기 때문에 완전한 원형으로 수용하는 데는 주의가 필요하다.

본 장에 제시되는 과제들은 초등학교 4학년까지 학생과 중학교 학생을 대상으로 되어있다. 따라서 이 과제들은 앞으로의 새 수학교육과정을 경험할 학생들을 위해 만들어졌다고 하는 것이 옳을 것이다. 여기서는 초등학교 및 중학교에서 다루어야 할 중요한 내용을 모두 다룰 수는 없기 때문에, 대표적인 몇 개의 과제를 선정하였다.

1) 과제 제작 배경
이 장에서 제시할 과제들은 「초등 수학 수행평가 과제 제작 및 분석(Measuring Up: Prototype for Mathematics Assessment)」과 「중학교 수학 수행평가 문항의 개발 및 그 활용 가능성 탐색(장경윤외, 1996)」에 기초한 것이다. 초등학교 4학년에 맞추어진 이 과제들은 미국 수학교육협의회에서 제작한 초등학교 4학년 아동의 수학기능과 지식을 평가하는 데 사용할 수 있는 평가과제의 원형 중에서 선택한 것이다. 이는 1991년 4월에 미국에서 열린 수학평가에 관한 전국회의(National Summit on Mathematics Assessment)에서 국가수준 교육목표 설정 위원회의 공동 대표인 Roy Romer가 수학교육자들에게 수학교육자들은 '수학적 힘'이라는 말과 '새롭고 더 엄격한 평가'라는 말을 사용하고 있는 데 그것이 구체적으로 무엇을 의미하는지를 보여줄 것을 요구하는데서 비롯되었다. 이 것이 수학교육자들에게 도전으로 받아들여졌고, 한달 후 수학교육협의회는 초등학교 4학년 아동의 수학기능과 지식을 평가하는 데 사용할 수 있는 평가과제의 원형을 제작하였다. 수학교육협의회는 수학교육자, 교사, 수학자들로 원형 개발팀을 구성하여, NCTM의 「수학교육 과정과 평가의 새로운 방향」에서 제시한 여러 개의 교육 목표를 포괄하여 평가할 수 있는 평가 과제의 원형을 개발하였고, 평가 과제 원형에 대해 4개의 주에서 예비 검사를 실시하였다. 이를 통해 많은 과제를 수정하게 되었고, 때로는 여러 번 수정하는 경우도 있었으며, 이러한 수정과 개작을 통해 과제는 점차 개선되어 갔다. 그 결과물이 「Measuring Up: Prototype for Mathematics Assessment」 이다.

평가 과제의 원형 만드는 데에는 '수학의 내용, 다른 과목과의 통합, 사고력 신장, 수학적 의사소통, 풍부한 기회, 수업 개선'이라는 다섯 가지 기준을 적용하였다고 한다. 다시 말해, 평가 과제는 다양한 수학 내용을 포함하고 과학이나 미술·언어과목, 일상 생활과 통합되도록 제작하여야 하며, 가능한 한 '고차적 사고 능력'을 신장하도록 제작한다는 것이다. 또한 학생들이 자신의 수행 과제를 전달할 수 있는 능력을 강조하여 수학 표상과 논리를 전개하거나 표현 할 수 있으며, 조별 활동을 통해 의사 소통 능력을 신장 시킬 수 있는 과제여야 한다. 아울러 다양한 창의적 전략을 구사하여 문제를 해결할 수 있고, 스스로 할 수 있음을 알게 하며 이를 통하여 결국 평가 과제가 수업 내용이나 방법에 긍정적인 영향을 주도록 해야 한다는 것이다. 이는 우리가 추구하는 수학 교육 과정의 방향과도 일치하며, 보다 적합한 수행평가의 평가 과제를 만들려는 우리의 노력에 많은 시사점을 제시한다.

2) 평가 과제의 원형
이 장에서는 평가 과제 원형 5개가 제시된다. 네 개는 초등학생을 위한 것이고, 하나는 중학생을 위한 것이며, 평가 과제의 상황과 맥락이 완전히 새롭게 개발된 것도 있고 이미 다른 형태로 사용되었던 상황과 맥락이 이용된 것도 있다. 중학생을 위한 수행평가 문항의 개발은 아직 초기 단계이므로 여기서는 특히 초등학교 학생을 위한 문항을 중심으로 살펴보고자 한다. 그러나 초등학교 4학년 학생들을 위한 과제라 할지라도 그들에게 정말 재미있고 의미 있는 과제라면, 고학년에서 활용할 수 있을 뿐만 아니라 성인들에게도 의미있는 과제가 될 수 있을 것이다.

이전의 검사 문항이나 평가 과제는 지필 검사로만 제시되는 경우가 많았다. 그럴 경우 읽기를 잘 못하는 학생은 상대적으로 불이익을 받는다. 이러한 아동들은 자신이 아는 수학적 기능과 지식의 진정한 수준을 표현하지 못한다. 이러한 상황에서 사용할 수 있는 제시 방법이 많이 있다. 비디오테이프로 문제 상황을 제시하거나, 교사가 직접 읽어주거나, 컴퓨터를 통해 문제상황을 제시하거나, 구체적 조작물을 이용하여 문제상황을 제시할 수 있다. 각 과제는 다양한 대안적 제시 방법을 예시하고 있다.

제시 양식은 다양하지만 평가 과제의 질문이 난이도 순서대로 구성되어 일관된 구조를 이루고 있다. 이러한 구성방식은, 학생들이 문제를 해결해 나가는 방식을 구조화 하는 것을 돕지만, 다른 한편으로는 과제해결 과정을 과제해결자가 주도하는 것이 아니라, 과제제시자가 주도하는 것으로 비춰질 수 있다. 여기에 제시된 과제의 원형들은 수학에 자신이 없고 잘하지 못하는 학생들도 자신이 할 수 있는 것이 있다는 것을 인식하게 하고, 충분히 시도할 수 있다고 생각하게 할 정도로 구조화되어 있다. 동시에 수학을 잘하는 학생들에게는 도전할 만한 여지를 남겨 놓았다. 어떤 경우에는 한 과제내에서 위계적으로 질문을 제시하지만, 처음부터 문제해결력, 논리적 사고력, 의사소통 능력을 사용하도록 구성된 과제들도 있다. 이러한 능력들은 수학을 배워야 하는 모든 학생들이 배워야 할 가장 중요한 수학적 측면이라고 할 수 있겠다.

평가과제는 여러 가지 형식으로 제시된다. 평가과제에 구체적으로 포함되지는 않았지만 가장 중요한 반응양식 중의 하나는 학생이 교사에게 개별적으로 자신의 해결과정을 구두로 설명하는 것이다. 평가문항을 개발한 미국의 수학교육협의회의 예비검사 결과, 자신의 사고를 글로 조직하여 발표한 경험이 적은 학생들은 자신이 해결한 것을 글로 쓰는 것보다 구두로 발표하는 것을 훨씬 쉽게 여긴다는 것이 밝혀졌다. 교사가 이 평가과제를 통해 학생들의 수학적 성장을 비공식적으로 평가하고자 한다면 글로 반응한 것과 더불어 구두로 반응한 것을 보충자료로 사용할 수 있다.

제시된 평가과제들은 물론 실제 사용 시 그 목적에 맞게 수정되어야 하겠지만 교사들은 이 평가과제들을 비공식적인 수학평가를 하는 데 사용할 수도 있고, 때로는 공식적인 평가에 사용할 수도 있다 이 장에 제시된 평가과제들을 해결하기 위해서는 단순한 연산능력 이상이 필요하다. 그리고 대부분의 과제에서 학생들은 그 바탕에 깔려있는 형태, 관계, 논리를 설명해야 한다. 결과적으로 유사한 활동을 하는 것을 관찰함으로써 교사는 학생들이 어떻게 다른 방식으로 해결하는지 그 성장을 관찰할 수 있다.

평가는 수업에 통합되어야 한다(NCTM, 1989). 학생들이 평가 활동을 '시험'으로 생각하지 않도록 해야 하며, 만일 평가 과제를 공식적인 평가에 사용한 경우라 할지라도 반드시 평가 과제에 대한 후속 활동이 수업에 통합되어 제시되어야 한다. 조별활동은 의사소통의 수단으로서의 수학을 강조하는 목표를 확실하게 반영한다. 제시할 과제는 대부분 소규모 조별 활동을 하도록 구성되어 있고, 경우에 따라서는 개별 활동을 선택할 수 있도록 구성되어 있다. 평가 과제를 수행하는 데 있어 몇 명으로 조를 편성하여 활동하게 하는 것이 가장 효과적인가에 대해서는 계속적인 연구가 필요하다. 또한 학생들의 수행을 평가할 때에 개별 활동과 조별 활동을 어느 정도로 배합해야 하는지에 대해서도 계속적인 연구가 필요하다. 여기서 제시하는 평가 과제 원형이 그 모든 것을 다 해결해 줄 수는 없겠지만, 이 과제들을 통해 미래의 평가에 관한 모습을 일견할 수는 있을 것이다.

3) 평가 과제 원형의 예
각 과제는 문제 해결, 의사소통, 추론, 연결성이라는 NCTM의 4가지 수준 모두를 포함하고 있다. 물론 이들 각 과제들은 수학이 연결되어 있으며 법칙들간에도 긴밀한 연관이 있음을 강조한다. 수학의 다양한 영역을 포함하도록 개발된 평가 과제는 수업에서 하는 활동들의 관련을 맺게 함으로써 각 영역간의 통합성을 높여 준다. 따라서 수학 내용의 영역별로 나누어 제시하기보다는, 현재 수학 평가가 강조하는 수학에서 학습할 가치 가 있는 내용에 초점을 맞추어 전개하려고 한다.

■ 과제 1. 수학 ≠ 계산
바둑 왕 결정전

이 과제에 포함된 내용은 그래프론 중 네트워크(network) 개념으로 학생들에 친숙한 상황을 표현한 것이다. 이러한 과제는 전통적인 4학년 수학교육과정의 영역을 확대할 수 있는 가능성을 보여주고 있다. 그러나 이 과제가 그래프로 나타낸 것을 순위 도표로 바꾸게 해서, 그래프와 순위 도표 사이의 관계를 설명하게 한 점에서 보면, 전통적인 교육과정의 내용과 연결되어 있다. 특히 마지막 두 질문의 답을 도출하는 데 다양한 전략을 사용하도록 하고 있다. 학생들은 답을 도출하기 위해 수학의 두 가지 기본 능력인 분석력과 추론력을 사용해야만 한다. 또한 이 과제는 수학이 계산하는 것만이 아니라는 것을 알게 해준다.

이 과제의 재미있는 특징은 제시된 표가 어떤 방식으로 현상을 표현하고 있는지가 확실하지 않을 때 현상을 범주화하여, 시합이 끝난 수와 남아 있는 시합의 수를 계산하도록 하고 있다는 점이다. 이 과제는 학생들에게 가장 기본적인 수학적 개념, 즉 셈하기를 새로운 상황에서 탐구하게 한다. 학생들은 각 점이 세 개의 화살표와 연결되어 있기 때문에 이를 이미 끝난 시합의 수로 계산하여 6명의 선수가 모두 3번씩 시합을 하였다는 것으로 이해한다. 그러나 6명의 선수가 모두 3번씩 시합을 했다는 것이 곧 18번 경기가 이루어 졌다는 것을 의미하지는 않는다. 아직 시합을 하지 않은 수를 세는 것은 이보다 더 어려운 문제이다. 이 과제는 바둑선수들이 현재까지 경기한 바둑시합의 승패를 화살표 그래프로 나타낸 것을 해석하여 선수의 순위를 알아내는 것이다.

● 목 표 : 4학년 학습자의 수준에 맞는 수학적 생각을 한다.

문제에 주어진 정보를 여러 가지 다른 표현방식으로 해석한다.

주어진 문제를 보고 일상적인 방식과 다르게 연산을 한다.

그래프로 제시되는 문제를 보고 답을 추론한다.

● 시 간 : 1차시

● 조편성 : 개별 학습이나 두 명이 한 조로 활동.

● 과제제시 : 이 과제에서는 사물의 관계를 화살표 그래프(directed graph)의 형태로 표현하여 문제를 제시하므로 사람 A에서 사람 B의 방향으로 그려진 화살표는 'A와 B가 벌인 바둑 시합에서 A가 이겼다'는 것을 의미한다. 학생들이 화살표 그래프를 잘 모르는 경우, 교사는 어떤 경기에서 4명 정도의 선수가 벌인 시합의 결과를 화살표 그래프로 만들어 화살표 그래프에 나타난 정보를 어떻게 해석해야 하는지를 가르쳐 주어야 한다.

● 과제 제작 시 고려 사항 : 바둑 시합에서 'X가 Y를 이겼다'는 것은 추이적(transitive) 관계가 아니다. 다시 말하면, X가 Y를 이기고, Y가 Z를 이겼다고 해서 반드시 X가 Z를 이긴다는 관계가 성립되지 않는다는 것이다.

● 변형 및 확장 : 이 과제는 여러 가지로 변형시킬 수 있다. 시합에 참여하는 선수의 수를 늘릴 수도 있고, 화살표의 방향과 수를 늘리거나 바꿀 수도 있으며 다른 종류의 질문을 만들 수도 있다. 과제에서 제시되는 상황을 추이적 관계로 바꿈으로써 과제를 변형시킬 수도 있다.

  <이름,날짜>

6명의 어린이가 바둑왕 결정전을 하고 있습니다. 그림은 지금까지 끝난 시합의 결과입니다.

 

 

 

그림에서 화살표는 경주가 우진을 이겼다는 것을 의미합니다. 언제나 이긴 사람 쪽에서 진 사람 쪽으로 화살표의 방향이 표시됩니다.

1. 정훈과 연우의 시합에서 누가 이겼지요?

2. 주원이는 누구누구와 시합을 했나요?

3. 주원이는 누구와의 시합에서 이겼나요?

4. 지금까지 몇 번의 시합이 끝났습니까? 어떻게 알았는지 쓰세요.

5. 현재까지 경기를 한 6명 선수의 순위를 나타내는 도표를 만드세요. 시합에서 가장 많이 이긴 사람을 1등으로 표시하고, 두 선수가 같은 등수일 때는 아무나 먼저 표시해도 좋습니다.

 

6. 바둑왕 결정전은 모든 선수가 나머지 다른 선수들과의 시합을 모두 마쳐야 최종 승자가 결정됩니다. 바둑왕을 결정하기 위해서는 시합을 몇 번 더 해야 합니까? 답이 나온 과정을 쓰세요.

7. 민우와 주원이는 아직 시합을 하지 않았습니다. 두 사람이 시합을 한다면 누가 이길까요? 왜 그렇게 생각하는지 이유를 쓰세요.

■ 과제 2. 새로운 수학정의의 탐구 및 교구의 선택
직각육각형

이 과제의 특징은 기하와 측정의 기본 개념인 수직, 선분, 넓이, 둘레 등을 통합적으로 사용하여 학생들이 이전에 알지 못했던 '직각육각형'이라는 새로운 기하학적 도형을 정의하도록 하는 것이다. 그러나 여기에서 중요한 것은 '직각육각형'의 개념을 가르치고자 하는 것이 아니라 오히려 학생들이 자·신이 잘 알고 있는 수학적 개념을 이용하여 새로운 수학적 대상을 정의하고 탐구하는 능력을 기르고자 하는 것이다. 이 과제의 목적은 학생들이 이 새로운 개념을 이용하여 얼마나 정의에 맞는 것과 정의에 맞지 않는 것을 구분할 수 있는가, 주어진 조건에 맞는 예들을 제시할 수 있는가를 평가하는 데 있다.

수학적 입장에서 볼 때 '직각육각형'이라는 개념은 특히 많은 것을 생각할 수 있게 해준다. 이 과제에서 학생들은 직각육각형의 다른 요소들을 고정하고(이 경우에는 둘레를 고정), 넓이를 최대로 만드는 방법을 탐색해야 한다. 다시 말하자면, '직각육각형'이나 면적, 둘레를 학습하기 때문에 이 과제가 특별한 것이다. 수학적 힘의 중요한 부분인 상호 관련된 속성들에 대해 수학적으로 탐구할 수 있도록 제작되었기 때문에 학습할 가치가 있는 것이다. 이 과제는 학생들에게 '직각육각형'이 아닌 것을 생각해 보게 한다. 직사각형이 아닌 "직각육각형"을 만들기 위해 '떨어져 나가는 작은 부분'을 얼마든지 작게 할 수 있다. 떨어져 나가는 작은 부분이 없으면 '직각육각형'이 될 수 없다. 그러므로 '직각육각형'의 넓이는 36㎠에 가까울 수는 있지만 36㎠가 될 수는 없다.

이 과제를 여기에 포함시킨 또 다른 이유는 학생들로 하여금 도형을 그리는 데 사용할 필요가 있거나, 과제를 해결하기 위해 원하는 교구를 선택할 기회를 갖게 하기 위해서이다. 어떤 아동들은 두 변이 직각을 이루는 '직각육각형'을 그릴 수 있도록 도와주는 모눈종이를 사용하는 것을 선택할 것이다. 다른 학생들은 또 다른 적절한 도구라 할 수 있는 cm가 표시된 직각자를 사용하게 될 것이다. 특정 과제를 수행하기 위해 어떤 도구를 사용할 것인가를 학생이 선택하는 것은 바람직한 일이다. 특히 4학년 정도의 학생에게는 그렇게 하는 것이 좋다. 주어진 상황에서 특정 도구를 사용하는 데는 나름대로의 장점과 단점이 있기 때문에 여러 가지 도구 중에 적절한 도구를 선택하여 사용한다는 것은 문제를 해결하는 데 꼭 필요한 일이다.

● 목 표 : 친숙한 개념을 친숙하지 않은 상황에 적용한다.

수학적 정의를 적용하고 정의에 내재된 개념의 속성을 탐구한다.

문제해결을 위해 도움이 되는 교구를 선택한다.

● 시 간 : 1차시

● 조편성 : 한 명 또는 두 명이 한 조로 활동.

● 과제 제시 : 이 과제는 학습자가 새롭게 정의된 기하학적 대상물을 다루어 본 경험이 있다는 것을 전제로 하고 제작되었다. 그러나 미리 '직각육각형'의 뜻을 알고 있을 필요는 없다. 이 평가과제는 부분적으로 학습자가 새롭고 어려운 개념을 노력을 기울여 풀어내는 능력을 평가하기 위한 것이다.

교사는 모든 학생들에게 육각형(hexagon)은 변이 6개인 평면도형이고, 인접한 변과 변이 만나는 닫힌 도형임을 상기시킨다. 그런 다음 학생들에게 시험지를 나누어 주고 첫 번째 항목을 읽어준다. 모든 학생들이 '직각육각형'의 개념을 기본적으로 이해하는지 확인한다. 그리고 나서 도형을 그릴 때 학생들이 사용할 수 있도록 필요한 도구들을 준비해 준다. 자, 직각자, cm타일, cm단위로 그려진 모눈종이를 준비한다.

● 과제 제작 시 고려 사항 : 우선 이 과제는 '직각육각형'의 사례와 비사례를 제시하는 방식만을 사용하여 직각육각형의 정의를 제시하는 것이 아니라, 말로써 '직각육각형'에 대한 형식적 정의를 내린다. 그리고, 기하에서 가장 흔한 오개념 형성을 막기 위한 노력의 일환으로 '직각육각형'의 모든 변은 검사지의 네 변과 평행되지 않도록 그려져 있다. 직사각형이나 사각형이 되는 성질, 혹은 평행과 수직의 관계를 검사지나 칠판의 모서리선과 관계지어 생각하는 것을 막기 위해서이다. 문제 5에서는 아동들로 하여금 어떤 종이를 사용해야 할지를 결정하게 할 목적이 있었기 때문 의도적으로 답을 할 공간을 남겨 두지 않았다. 대신에 학생들이 다른 종이를 사용하도록 하였다. 문제 7에서도 답지에 선을 그려 놓지 않았다. 어떤 아동들은 글로 쓰기를 원할 것이고, 또 어떤 아동들은 그림을 그려서 설명하려 할 것이기 때문이다. 어떤 방식이 더 좋다고는 할 수 없다. 그러나 학생이 원한다면 그렇게 하도록 한다. 선이 그려진 답안지에 답을 씀으로써 그림으로는 적절하게 전달할 수 없는 생각들을 쓰려고 할지도 모르기 때문이다.

● 변형 및 확장 : 몇 가지 중간 질문을 첨가함으로써 과제의 난이도를 조정할 수 있고, 도형의 넓이나 둘레를 정수가 아닌 숫자를 사용하게 함으로써 이 과제를 변형시킬 수도 있다. 이외 자연스러운 확장은 '직각팔각형', 혹은 일반적으로 직다각형과 그것의 넓이와 둘레를 생각해 보는 것이다. 다른 식으로 확대하려면 '직각육각형'을 3차원으로 변형해 볼 수 있다.

 

우리는 새로운 도형을 만들고, 그 도형의 이름을 '직각육각형이라고 하였습니다. '직각육각형은 이웃한 모든 두 변이 직각을 이루는 육각형입니다.

몇 가지 '직각육각형'의 예를 들면 다음과 같습니다.

 

다음 그림은 두 변이 만나서 직각을 이루지 않기 때문에 '직각육각형'이 아닙니다.

 

1. 다음 도형은 '직각육각형'이 아닙니다. 왜 아닌지 그 이유를 쓰세요.

 

2. 다음 '직각육각형'은 cm로 표시된 모눈종이에 그려진 것입니다. 이 '직각육각형'의 둘레와 넓이를 구하세요.

 

3. 다음 '직각육각형'은 cm로 표시된 모눈종이에 그려진 것입니다. 이 '직각육각형'의 둘레와 넓이를 구하세요.

 

4. 다음은 둘레가 24cm인 '직각육각형'입니다. 이 '직각육각형'의 넓이를 구하세요.

 

5. 둘레가 24cm인 여러 가지 모양의 '직각육각형'이 있습니다. 다른 종이에다 둘레가 24cm인 서로 다른 '직각육각형' 2개를 그려보세요(다른 종이 위에 반드시 이름을 쓰세요).

6. 둘레가 24cm인 '직각육각형'을 하나 더 그리세요. 둘레가 24cm이면서 넓이가 가장 큰 '직각육각형'을 그려봅시다. 아래의 빈 공간에 그려도 되고 다른 종이를 이용해도 됩니다. 학생이 지금 그린 '직각육각형'의 넓이는 얼마입니까?

7. 둘레가 24cm인 '직각육각형'의 넓이에 관해서 무엇을 알게 되었습니까?

■ 과제 3. 여러 가지 답 : 거꾸로 풀기
숫자 볼링

숫자 볼링 과제는 주어진 문제의 답을 계산하기보다는 학생 스스로가 식을 만들어야 하는 연산문제를 다룬다. 이 과제에서는 특정 수를 만들기 위해 가능한 여러 가지 사칙연산 방법을 생각하여 사용할 수 있는 능력을 평가하고자 한다. 학생은 주어진 세 개의 수를 어떤 방법으로 조합해서 핀 수(pin number)를 만들 것인지를 생각하면서 문제를 거꾸로 풀어보아야 한다.

계산기는 학생이 필요할 때 쓸 수 있도록 항상 준비되어야 하지만, 이 문제상황에서는 계산기가 별로 쓸모 없다는 것을 학생은 곧 깨닫게 될 것이다. 실제로 계산기를 사용하여 핀을 넘어뜨릴 수 있는 식을 세우는 방법은 이 과제에서는 비효율적이다. 이런 종류의 과제를 다루는 또 하나의 이유는 문제를 푸는 데 계산기가 유용한지를 판단하는 학생의 인지능력을 길러주고자 하기 때문이다.

이 과제를 포함시킨 또 다른 이유는 초등학교 4학년 수학교육과정에서 거의 찾아볼 수 없는 조합론(combinatorics)과 확률 단원 수업과 쉽게 연결되기 때문이다.

교사는 문제를 해결하는 방법이 한 가지 이상이라는 것을 학생에게 주지시킬 필요가 있다. 예를 들면, 숫자 3, 4, 6을 이용하여 "2=(3×4)÷6", "2=4-(6÷3)"이라는 두 식을 세워서 2라고 쓰여진 핀을 쓰러뜨릴 수 있다는 것을 보여준다. 아마도 혼자서 과제를 수행하는 학생은 이렇게 두 가지 방법으로 식을 세우지 않을 것이다. 왜냐하면, 한 번 식을 만들어 핀을 쓰러뜨리면 그 핀에 대한 다른 식을 만들 필요가 없기 때문이다 다시 말하면, 어떤 핀을 한 번 쓰러뜨리면 다시 그 핀을 쓰러뜨릴 아무런 이유가 없는 것이다. 그 대신 문제를 해결하는 데에는 여러 방법이 있다는 사실을 교사가 게임을 소개할 때나 또는 평가 후 토론 때 학생에게 전달해야 한다.

● 목 표 : 문제를 거꾸로 풀 수 있다.

모든 가능한 경우를 생각해 낸다.

계산기가 도움이 되지 않는 문제 상황에서 연산을 한다.

한 문제에 대해 여러 가지 답을 만들어 본다.

● 시 간 : 1차시

● 조편성 : 교사가 과제를 소개한 후에 한 명 또는 두 명이 한 조로 활동한다.

● 과제제시 : 이 과제는 괄호가 있는 연산을 해본 경험이 있다는 것을 전제로 한다.

교사는 이 과제에서 볼링 게임의 목표가 공을 한 번 또는 두 번 던져서 열 개의 핀을 쓰러뜨리는 데 있다고 설명한다. 공을 한 번 던져서 열 개의 핀을 모두 쓰러뜨리는 것을 스트라이크(strike)라고 한다. 스트라이크를 하지 못했을 경우 두 번째로 공을 던져 남은 핀을 모두 쓰러뜨리면 스페어(spare) 처리를 한다고 한다. 숫자 볼링 게임은 볼링과 유사하나 다른 점은 다음과 같다. 즉, 볼링 공을 사용하는 대신에 세 개의 보통 주사위를 던져서 나타난 세 숫자를 가감승제하여 1부터 10까지의 수를 가능하면 많이 만들어 내는 것이다.

주사위에 나타난 수는 한 식에서 정확히 한 번만 사용할 수 있어야 한다. 식을 만들어 답이 나오면 그 수에 빗금을 친다(볼링에서 핀을 쓰러뜨리는 것에 해당된다).

숫자 볼링의 규칙을 설명한 후 교사는 전체 학생 앞에서 게임을 한 번 실시한다. 처음 던져서 나타난 주사위의 숫자를 3, 4, 6이라 하자. 학생은 칠판에 그려진 핀을 쓰러뜨리기 위해 식을 아래와 같이 만들 수 있다.

물론 아래와는 다른 순서로 핀을 쓰러뜨릴 수 있을 것이다. 학생이 사용한 전략에 따라서 숫자를 등호의 오른쪽 혹은 왼쪽에 오게 할 수 있다. 예를 들면 어떤 학생은 "3, 4, 6으로 뭘하지?"라고 자신에게 묻고 "4+6-3=7"을 만들지도 모른다. 반면에 다른 학생은 "숫자 7이 쓰여진 핀을 쓰러뜨릴 방법이 있을까?"라고 자문하고 "7=4+6-3"이라는 식을 쓸 수도 있다.

 

핀의 여러 숫자를 얻어내는 다양한 방법들이 있다는 사실을 언급해야 하며, 분명하게 지적해야 한다.

이제 교사는 다시 주사위를 던져서 얻은 숫자가 3, 3,4라고 학생들에게 말한다. 이 숫자들을 사용하면 나머지 핀들을 모두 쓰러뜨릴 수 있다. 이러한 경우 스페어 처리를 했다고 한다.

 

● 과제 제작 시 고려 사항 : 이 과제는 수업시간에 유용하게 쓸 수 있는 게임의 일종이다.

첫 번째로 고려할 것은 교사가 모든 학생에게 똑같이 게임을 소개하고 이 게임의 모든 면을 보여줄 수 있어야 한다는 것이다. 교사는 시범 시에 정확히 어떤 숫자를 사용하는지를 명시한다. 이 과제에서 사용된 두 번째 기법은 문제 1과 2에서 아동이 주사위 던지기를 했을 때 나타난 숫자가 무엇이든 그 수를 이용하여 나머지 문제에서도 이미 결정된 어떤 수를 가지고 게임을 할 수 있도록 한다는 것이다. 교사가 문제 1, 2의 결과를 진단 목적으로 사용할 수는 있다. 그러나 주사위에 나타난 숫자에 따라서 과제의 난이도가 달라지기 때문에 공식적인 평가로는 고려하지 말아야 한다.

● 변형 및 확장 : 이 과제의 변형은 다양하다. 다른 숫자가 쓰여진 주사위나 다른 숫자가 적힌 핀을 사용할 수도 있고, 주사위의 개수나 핀의 개수에 변화를 줄 수도 있고, 사칙연산 외에 다른 연산을 사용할 수도 있다. 학생이 스스로 게임의 변형을 생각해서 게임을 할 수 있도록 하는 것도 좋은 변형 방법이 될 수 있다.

이 게임은 확률 및 조합 문제로 확장될 수 있다. 예를 들면, "스트라이크를 할 수 있는 다른 방법은 몇 가지인가, 주사위를 던졌을 때 최악의 경우는 무엇인가?, 최악의 경우의 수는 하나 이상인가? 세 개의 주사위를 던졌을 때 모든 경우의 수는 무엇인가? 스트라이크를 할 확률은 얼마인가?" 이와 같은 문제들은 장기간 프로젝트로서 적합하다. 그룹별로 탐구결과를 정리하여 학급에서 그 결과를 발표하게 하는 방법으로 과제를 수행하게 할 수도 있다.

 

1. 숫자 볼링 게임을 합시다. 세 개의 주사위를 굴려서 주사위에 나타난 수를 다음 세 칸에 쓰세요.

 

(3, 4, 6혹은 3, 3, 4가 나타나면 다시 던지세요). 될 수 있으면 많은 편을 쓰러뜨릴 수 있도록 숫자를 잘 사용하세요(이 문제뿐만 아니라 다른 모든 문제에서 수식은 선 위에 쓰세요).

 

스트라이크였나요?

2. 스트라이크였다면 다음 페이지로 넘어가세요. 만약에 스트라이크를 하지 못했다면 스페어 처리를 시도해 보세요. 세 개의 주사위를 던져서 나타난 수들을 다음 칸에 쓰세요.

 

이제, 주사위를 던져서 나온 숫자를 사용하여 남아 있는 핀을 가능한 한 많이 쓰러뜨릴 수 있도록 숫자를 사용하여 식을 만들어 보세요.

 

3. 다시 주사위를 던져서 나타난 숫자가 2, 3, 6이라고 합시다. 이 숫자들을 사용해서 가능한 한 많은 핀을 쓰러뜨리세요.

 

스트라이크였나요?

4. 다시 던져서 나타난 숫자가 1,3, 5라고 합시다. 이 숫자들을 사용해서 나머지 핀들을 쓰러뜨리도록 해보세요.

 

스페어 처리를 했나요?

5. 주사위를 던져서 1, 2, 4가 나왔다면 어떤 핀을 쓰러뜨릴 수 있을까요?

 

스트라이크였나요?

■ 과제 4. 다양한 수학영역의 활용 : 수학적 연결성
번개가 또 치네요

이 평가과제는 기하, 직·간접측정, 연산(특히 나눗셈)영역을 포함하고 있고, 이를 비 표준화된, 그러나 재미있는 생활 맥락 속에서 제시하고 있다. 지도와 실제 상황을 연결시켜야 하기 때문에 이 과제에서는 비례적 사고가 특별히 중요하다. 이 과제의 문제를 해결하기 위해서는 수학의 각 영역을 다른 영역과 연결하여 도입해야 한다. 기하영역은 직선 또는 선분을 포함하여 여러 가지 답을 허용한다. 학생이 우연히도 번개를 경험하는 지역에 산다면 과제를 더 적절한 것으로 느끼겠지만, 번개와 천둥소리는 그렇지 않은 대부분의 학생들도 잘 알고 있는 자연현상일 것이다.

앞서 제시된 '직각육각형'과제 처럼 이 문제를 해결하기 위해 도구를 선택하는 것은 학생의 몫이다. 그리고 교사는 학생들이 사용할 수 있도록 도구를 미리 준비해 두어야 한다. 이때 학생들은 지도의 거리를 실제의 거리로 측정해야 한다.

● 목 표 : 문제해결에 있어서 하나 이상의 수학영역을 활용한다.

실생활의 장에서 비례적 사고를 한다.

문제해결에 도움이 되는 도구를 선택한다.

● 시 간 : 2~3차시

● 조편성 : 비디오 테이프로 이 과제를 수행하는 방법을 설명한 후, 한 명 또는 두 명이 한 조가 되어 활동.

● 과제 제시 : 모든 학생에게 그림을 그릴 수 있는 도구(연필, 컴퍼스, 자)를 제공하고, 과제를 제시하기 전에 교사는 번개에 대해 학생들과 잠깐 동안 이야기를 나눈다. 특히 번개가 치고 난 후 조금 있다가 천둥소리를 듣게 된다는 사실에 중점을 두어 이야기하며, 번개와 천둥은 동시에 일어나지만 소리가 빛보다 속도가 느리기 때문에 그러한 현상이 일어난다는 것을 설명한다. 어떤 사람이 번개를 치는 것을 본 지점과 번개가 치는 곳까지의 거리를 추정하는 한 방식을 설명해 준다. 번개가 치는 것을 본 때부터 천둥소리를 들은 때까지 몇 초가 걸렸는지를 측정하고, 그 시간을 5로 나누면 대개 번개친 지점과 현재 그 사람이 있는 지점과의 대략적인 거리를 계산해 낼 수 있다.

● 과제 제작 시 고려 사항 : 실제 상황과 유사한 상황을 포함하는 과제를 제시할 때는 유의해야 할 점이 있다. 만일 어떤 학생이 더 많은 배경 지식을 가지고 있을 경우 이에 대처해야 한다. 이러한 경우 이 과제에서 제시하는 문제는 대략적인 수준에서 거리를 재게 하는 상황이 되어야 한다. 기압에 따라 소리의 속도는 약간씩 달라진다는 것을 아는 학생이 있다면, 그 학생을 우리가 기대하는 답과는 다르게 응답할 수 있다.

● 변형 및 확장 : 점 A, B, C, D와 번개 치는 지점을 다른 곳으로 바꾸거나, 주어지는 수를 변경하여 과제의 난이도를 조정할 수 있고, 사람이 서 있는 지점과 번개 치는 지점과의 거리를 명확하게 제시하여 훨씬 단순한 계산기술을 요구하도록 과제를 만들 수도 있다. 또 마일법(Standard English Units)대신에 미터법(Metric Units)을 사용하면 계산이 간단해진다.

 

여러분이 서 있는 곳에서 번개가 친 곳까지의 거리를 계산하기 위해서 번개가 친 때부터 천둥소리를 들은 때까지 몇 초가 걸렸는지를 재서, 그것을 5로 나누는 방법이 있습니다. 이렇게 해서 얻은 수는 마일(mile)로 표시되는 대략적인 거리입니다.

네 사람이 그림과 같이 A, B, C, D 네 곳에 서 있습니다. 그리고 이 사람들은 점 E에서 번개가 치는 것을 보았습니다. 소리는 빛보다 속도가 느리기 때문에 번개가 치는 순간에는 천둥소리를 듣지 못하였습니다.

 

1. 누가 제일 먼저 천둥소리를 들었을까요?  그 이유는 무엇입니까?

2. 누가 제일 나중에 천둥소리를 들었을까요?  그 이유는 무엇입니까?

3. 이 중 한 사람은 12초 후에 천둥소리를 들었습니다. 누구일까요?

왜 그러한 답이 나왔는지 설명해 보세요.

4. 점 B에 서 있던 사람은 몇 초 후에 천둥소리를 들었을까요?

어떻게 답을 알았는지 그 과정을 써 보세요.

5. 번개가 다른 곳에서 쳤다고 가정해 봅시다. 점 A에 있던 사람과 점 C에 있던 사람이 동시에 천둥소리를 들었습니다. 번개가 어느 곳에서 쳤는지 그곳을 지도에 표시해 보세요.

 

6. 문제 5에서 번개친 곳이 여러 지점일 수 있을까요?

그렇다면 학생이 생각하는 모든 곳을 표시해 보세요.

7. 번개가 또 쳤습니다. 점 A에 있던 사람은 번개를 본 다음 5초 후에 천둥소리를 들었습니다. 번개가 쳤다고 생각되는 곳을 가능한 한 많이 찾아서 지도에 표시해 보세요.

 

8. 점 C에 있던 사람은 15초 후에 같은(7번) 번개의 천둥소리를 들을 수 있었습니다. 번개 친 곳이 어디인지 표시해 보세요.

■ 과제 5. 구체적 조작물을 통한 수학 정리의 발견과 일반화
고무줄로 만드는 도형

이 과제는 Geoboard를 활용하여 면적 또는 둘레의 길이와 관련된다. 학생들은 Geobord 와 고무줄을 가지고 문제 상황을 탐색할 수 있으며, 이때 깊은 사고력과 교구의 이용을 요구하고 공식이 특별히 필요치 않다는 면에서 기존의 문제와 다소 다르다. 이 과제는 백순근(1995)이 말한 학생 스스로가 자신의 지식이나 기능을 나타낼 수 있도록 산출물을 만들거나, 행동으로 나타내며, 답을 작성하는데 적합한 구조적 조작물을 이용한 과제의 한 예이다.

● 목표 : 구체적 조작물을 통한 활동으로 규칙을 발견하여 일반화한다.

특수한 사례를 바탕으로 귀납적 추론을 한다.

● 시간 : 1차시.

● 조편성 : 개인 혹은 두 명이 한 조로 활동.

● 과제 제시 : 면적과 둘레와 관련된 영역(과제 A)과 특수한 경우의 Pick의 정리를 찾아내는 영역(과제 B)으로 구성되어 있다. 과제 A에는 길이가 12인 다각형, 넓이가 2인 다각형, 넓이가 2와 5가 되는 정사각형을 만들도록 하였다 과제 B에서는 내부에 못이 하나도 없는 경우(i=0)에 경계선에 닿아 있는 못의 수(b)와 다각형의 넓이(S)사이의 관계 와 내부에 못이 한 개있는 경우(i=1)에 경계선에 닿아 있는 못의 수와 다각형의 넓이 사이의 관계 를 발견해 내도록 하였다. 관계식은 i=1인 경우가 더 쉬우나 논리적 구성상 i=0을 제시하였다.

● 과제 제작 시 고려할 사항 : 과제에서 제시하는 다각형은 단순 다각형으로 한정하며 만약, 단순 다각형이 아닌 경우 합리적 이유를 답과 함께 제시할 수 있도록 제작한다.

 

A. 오른쪽 그림과 같은 판에 고무밴드 하나를 사용하여 다양한 모양의 다각형을 만들 수 있습니다.

점과 점 사이의 길이는 1로 보고, 같은 모양은 위치에 관계없이 같은 것으로 봅니다.

 

예를 들면, 이 다각형의 넓이는 5이고 둘레의 길이는 12입니다.

 

1. 둘레가 12인 다각형을 각자 여러 개 만들어 보시오.

 

2. 넓이가 2인 다각형들을 만들어 보시오.

 

3. 넓이가 2인 정사각형을 만들 수 있습니까?

할 수 있다면 만들어 보고 왜 넓이가 2가 되는지 설명해보시오.

 

4. 넓이가 5인 정사각형을 만들 수 있습니까?

할 수 있으면 만들어 보고 왜 넓이가 5가 되는지 설명하시오.

 

B. 다음 그림은 나무 1 그루가 안에 들어 가도록 4 개의 말 뚝을 연결한 울타리를 만든 것입니다.

 

여기에서 울타리란 고무줄을 말하고 말뚝은 고무줄이 겹쳐지는 못, 나무는 고무줄 안쪽에 있는 못을 뜻합니다.

울타리가 아래처럼 쳐진 경우는, 말뚝이 4개인 것으로 생각합니다.

 

(1) 다음과 같은 정원을 만들어 보고, 그 넓이를 구하시오.

① 말뚝 5개, 나무가 없는 경우

 

② 말뚝 6개, 나무가 없는 경우

 

③ 말뚝7 개, 나무가 없는 경우

 

④ 말뚝 10 개, 나무가 없는 경우

 

(2) (1) 번에서 정원에 나무가 없는 경우에 말뚝의 수, 그리고 넓이 사이에 어떤 규칙을 발견할 수 있습니까? 그 규칙은 무엇인지 아래에 쓰고, 각자 자신의 정원을 2개 정도 만들어 이를 확인하여 보시오.

 

(3) 다음과 같은 정원을 만들어 보고 그 넓이를 구하시오

① 말뚝 7개, 나무 1 그루인 경우

 

② 말뚝 8개, 나무 1그루인 경우

 

③ 말뚝 12 개, 나무 1 그루인 경우

 

④ 말뚝 3 개, 나무1 그루인 경우

 

(4) (3)에서 정원에 나무가 하나인 경우에 말뚝의 수, 넓이 사이에 어떤 규칙을 발견할 수 있습니까?

그 규칙은 무엇인지 아래에 쓰고, 각자 자신의 정원을 2개 정도 만들어 이를 확인하여 보시오.

 

4) 평가기준의 예
가. 과제 2. 직각육각형
■ 높은 수준의 답의 특성 :

높은 수준의 답은 새롭게 정의된 '직각육각형'을 쉽게 다루고 있고, 둘레와 넓이의 상호 보완적인 역할을 이해했음을 보여주는 것이다. 즉, 둘레가 24cm이고 넓이가 36㎠에 가까운(36㎠는 아니지만) '직각육각형'이 있다는 것을 이해했다는 것이 답에 나타난다. cm와 ㎠가 빠진 경우는 있겠지만, 문제 1에서 4까지의 질문에 바르게 답한다. 문제 5와 6의 답에서 '직각육각형'은 직각과 변의 길이를 표현하고 있고, 0.5cm 이내의 오차만을 보인 거의 정확한 것이다. 다른 방법으로는 '직각육각형'의 크기를 분명히 표시하였지만 직선자를 이용하지 않고 대량 그린 그림도 이 범주에 속하는 답으로 간주한다.

  <문제5>

문제 6에서는 '직각육각형'의 넓이가 적어도 34㎠이고, 문제 5번에서 제시한 답만큼 큰 것은 정답으로 하였다. 문제 7에서 가장 높은 수준의 답은 둘레가 24cm이고 넓이가 36㎠인 '직각육각형'이 있을 수 없다는 점에 대해 무엇인가를 말하려 한 것이다(4학년 학생이 이 사실을 완전하게 정당화할 수는 없을 것이다. 둘레가 24cm가 되는 정사각형을 언급한 것이나, 둘레가 24cm인 '직각육각형' 넓이가 36㎠에 가깝다고 응답한 것은 이 범주에서도 가장 수준이 높은 답으로 처리된다 둘레가 24cm이면서 넓이가 넓은 몇 개의 '직각육각형'을 나열했을 경우에도 높은 수준의 답이 되지만 전자보다는 점수가 낮은 답이 된다.

 

■ 중간 수준의 답의 특성 :

문제 1~4에 대한 답에서 '직각육각형'이 무엇인지와 둘레와 넓이가 무엇인지를 이해하였다는 것을 알 수 있다. 그러나 하나 정도에서 계산의 오류가 나타난다. 계산에 오류가 있다 하더라도 문제 5에 대한 답은 학생이 이 과제를 확실히 이해하고 있는가를 알 수 있는 척도가 된다.

 

문제 5, 6의 그려진 도형에서 변의 길이가 각 방향으로 1cm 정도씩 틀리고 각이 정확하게 직각으로 그려지지 않고 둘레가 정확히 24cm가 아니라 할지라도, 그려진 도형이 '직각육각형'인 경우 중간 수준의 답으로 분류된다(물론 이러한 오류는 학생이 선택한 도구 때문일 수도 있다).

문제 6에서 부분적으로 이해한 것이 중간 수준의 답의 전형적인 형태인데, 여러 가지 종류의 답으로 나타난다. 예를 들면, '직각육각형'의 넓이를 상대적으로 적게 그렸으면서도(30㎠정도) 넓이는 정확하게 답한 경우(1㎠ 오차 내로)나, '직각육각형'은 정확하게 그려 놓고 넓이는 35㎠라 하지 않고 23㎠로 잘못 진술한 경우 등이 이 범주에 속한다.

문제 7에 대한 답으로서 부분적으로 정확하지만(예컨대, 둘레는 같으나 넓이가 다른 '직각육각형'은 여러 개 있다), 둘레의 길이가 24cm인 '직각육각형'들의 관계를 표현하지 않은 것은 이 범주의 답으로 분류된다.

■ 낮은 수준의 답의 특성 :

'직각육각형'이 무엇인지, 넓이와 길이가 무엇인지에 대해 거의 이해하지 못한다. 변을 똑바로 그리거나 직각을 그리는 데 있어서 정확성을 전혀 고려하지 않는다. 더욱이 문제 7에 대한 답에서 문제와 전혀 연관이 없는 것들을 제시한 경우 이 범주의 답으로 분류된다.

  <문제 5>

<문제 6>

 

4. 결론
수행평가는 학습자와 학습과정을 중시하는 교육관을 바탕으로한 종합적이고 전인적인 평가를 중시하므로 이러한 특징은 오늘날의 교육 흐름과 맥을 같이 한다. 지금까지는 교육 과정 및 교수 방법에 이어 교육 평가를 변화시키려는 노력의 하나로, 전통적인 단답식 평가를 지양한 대안적 평가 방법의 하나인 수행평가를 고찰하였다. 특히 수학 수행평가 과제와 그에 따른 구체적 평가 기준의 예를 살펴봄으로써, 수행 평가 과제의 원형을 제시하였다. 제시되었던 과제들이 수학 수행평가에서 성취·평가 하고자 하는 모든 것을 보여 주지는 못했다. 그러나 학생들로 하여금 수학이 단지 계산이나 고정 불변의 대상이 아니라, 다양한 답을 가지는 문제가 존재하며, 스스로 정의를 탐구할 수 있고, 수학의 다양한 영역 및 타 교과와의 통합이 가능함을 깨닫게 하고, 교사가 이를 평가하기에는 충분한 과제들이었다. 아울러 비록 초등학교 4학년 중심의 과제이기는 하나 중학교 이상에서도 의미 있는 문제가 될 수 있을 것으로 본다.

현재 초등학교를 중심으로 시행되고 있으며, 7차 교육과정에서도 제시하고 있는 평가인 수행평가는 단순히 실기 평가만을 의미하는 것이 아니다. 실제 생활과 관련된 과제를 해결하기 위해서 학생들 자신이 알고 있는 수학적 지식이나 방법을 사용하는 사고활동의 전체이고, 경우에 따라서는 물리적인 활동을 수행하기도 하는 것으로, 교사는 그 과제의 결과물을 통해 학생의 능력을 평가하는 것이다. 따라서 평가과제의 제작과 제시에도 많은 주의와 고려가 필요하며, 특히 수행평가는 채점에 있어서 교사의 판단에 크게 의존하는 특징이 있으므로, 이러한 수행평가를 활용하거나 개발할 때 채점자에 따른 판단의 차이를 최소화하여 객관성을 유지할 수 있는 방안도 함께 모색하여야 할 것이다.

끝으로 지금까지 제시한 평가 과제의 원형들이 앞으로의 수행평가 과제 제작에 있어서 기본적 방향을 제시할 수 있기를 기대하며, 국내에서도 초등 뿐만 아니라 중등에 이르기까지 수행평가의 전격적인 실행을 위하여 평가 문항의 개발과 그에 따른 채점 방법의 연구가 활발히 진행되어야 할 것이다.

 

 

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참고문헌
교육부 (1992). 제 6 차 수학과 교육과정.
교육부 (1997). 제 7 차 수학과 교육과정.
국립평가원 (1996). 초등학교의 새로운 평가 제도에 따른 수행평가의 이론과 실제.
권오남, 김경자(공역) (1997). 초등 수학 수행평가 과제 제작 및 분석. 서울: 양서원. (원제: Measuring Up: Prototypes for Mathematics Assessment. Mathematical Sciences Education Board of the National Research Council. National Academy Press, Washington, D.C. USA. 1993)
백순근 (1997). 수행평가의 이론과 실제. 한국교육평가위원회 학술세미나 발표논문집.
서울시교육청 (1997). 창의력 신장을 돕는 중학교 수학과 학습 평가 방법.
장경윤, 권오남, 최명례 (1996). 중학교 수학 수행평가 문항의 개발 및 그 활용가능성의 탐색. 교과교육공동연구결과 최종보고서.
Elliott, S.N. & Kratochwill, T.R. (1996). Performance Assessment and Students with Disabilities: Procedures and Outcomes in a Staewide Assessment System. Wisconsin Center for Education Research and University of Wisconsin-Madison.
ICPAC (Indiana College Placement and Assessment Center). (1992). Indiana Performance Assessment. Booklet. Indiana University, Bloomington.
NCTM. (1989). Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Reston, VA : NCTM.
NCTM. (1995). Assessment standards for school mathematics. Reston, VA : NCTM.
Randall, C. & Lester, F. (1992). How to Evaluate Progress in Problem Solving. Reston, VA : NCTM.

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이력사항

권오남
이화여자대학교