[=] 고등학교 수학교육에서의 극한의 이해

목 차

Ⅰ. 서 론
Ⅱ. 극한의 이해
1. 극한의 역사적 배경 및 이해
2. limit와 관련된 강의 요목
Ⅲ. 현장교육
1. 현장교육에서의 문제점
2. 효율적인 지도법
3. 유의사항
1) 무한대란 무엇인가?
2) 최대 · 최소값의 정리는?
3) 접선이란?
4) 극대와 극소란?
5) 부정적분이란?
6) a의 의미는?
4. 학생들의 지도에 있어서의 괴리 극복
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발행자명 부산외국어대학교 교육대학원 
학술지명 교육논총 
ISSN 1738-141X 
권 2 
호  
출판일 2000.  

 

 

 

고등학교 수학교육에서의 극한의 이해*

백인수
전제기
9-362-0001-19

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Ⅰ. 서 론
해석학의 근본적인 이해는 극한의 이해에 있다. 수의 기본적인 성질을 이해하고 그 극한을 통하여 함수의 연속성, 미분, 적분의 개념에 다가갈 수 있는 것이다. 본 논문은 이러한 사실에 중점을 두어 현장에서 접하는 이론과 그 지도의 gap에서 일어나는 여러 어려움을 발견하고 그것의 분석을 통하여 현장지도를 용이하게 하려는데 그 목적이 있다.

Ⅱ. 극한의 이해
1. 극한의 역사적 배경 및 이해
해석학이란 무엇인가? 이 질문은 너무나 어렵고 복잡하다. 그러나 이 질문에 대한 간단한 개념을 한마디로 요약하면 무한개념이 개입된 수학이라고 할 수 있다. 대수의 유한성과 대비 되는 개념이다. 실수의 구성에서도 그 유래를 찾아볼 수 있는 역사적 배경을 갖고 있다는 것도 간과할 수 없다. 유리수에서 실수로의 구성에서 반드시 등장하는 극한(limit)에는 실제로 위상 (topology)이라는 개념이 등장한다. 이 위상을 토대로 우리는 무한대라는 개념을 자연스럽게 유도할 수 있다. 수열의 극한에서 n → ∞란 개념이 나오는데 이것을 자세히 살펴보면 다음과 같다. 수열 또한 f:N→R 인 하나의 함수이다. 따라서 수열의 극한은 함수의 극한의 한 일례라고 볼 수 있다. 그러면 an = A의미를 먼저 분석해 보자. 즉 f(n)= an 이고 따라서an = f(n) =A가 된다. 물론 f(x)=A 의 입장에서 보면 약간 다른 표현이 될 수 있다. 그러나 ｘ의 범위를 실수의 집합이 아닌 { | n ∈ N}으로 본다면 an = f(x)=A로 볼 수 있다. 즉 " n → ∞ " 의 뜻 " n 이 커지면"은 위상의 개념으로 볼 수 있게 되는 것이다. 이와 같은 의미에서는 연속적인 개념과 이산적인 개념 그 외에는 그 차이가 없는 것이다.

이미 중학교 2학년에서 무한소수의 개념이 등장한다. 이 개념은 이미 극한을 소개하는 첨병으로서의 역할을 다하고 있다. 이때 등장하는 무한소수는 애매 모호한 표현방법을 채택함으 로써 학생들로부터 많은 어려움을 주고 있다. 뿐만 아니라 많은 교사들도 그 개념을 올바르게 인지하지 못함으로써 그 의미를 올바르게 전달하지 못하는 경우가 종종 있음을 본다. 예를 들 면 0.999 의 문제이다. 이 문제에서 보다시피 이 수는 하나의 수임을 인식하지 못하고 움직이는 수로 인식되는 오류를 낳고 있다. 또한 수학적 귀납법의 오류로 말미암아 1 보다 작은 수로 인식되는 경우조차 있음을 본다. 이 모든 사실은 극한을 올바르게 이해하지 못함으로써 생기는 결과임을 우리는 알 수 있다.

한편 우리는 f(x)=A 바로 인식해야할 필요가 있다. 그 정의로서 "Given ε>0, there is δ>0 such that |f(x)-A|< ε for 0|x = α|< δ " 이 주어짐을 알고 있다. 즉 함수 f 가 f(x)=A 를 만족한다면 우리는 A와 f(x)를 주어진 거리 ε 보다 가깝게 할 수 있는 x의 범위로서 중심을 제거한 α 의 δ-근방을 만들 수 있다는 말이다. 즉 ε 을 줄이면 그 만큼 δ를 잘 조절하면 된다는 말이다. 즉 ε 을 얼마든지 0으로 가까이 접근시키더라도 δ 만 잘 조절하면 A와 f(x)를 주어진 거리 ε 보다 가깝게 할 수 있다는 말이다. 그러나 실제 우리는 " x가 α에 가까이 가면 ( α에 가까이 가는 모든 x에 대해) f(x)가 A에 가까이 간다" 라고 한다. 즉 x가 α 에 가까이 가더라도 (α 에 가까이 가는 어떤 x에 대해) f(x)가 A에 가까이 가지 않으면 f(x)=A 가 아니라는 말이다. 즉 "Given ε>0, there is δ>0 such that |f(x)-A|< ε for 0|x = α|< δ "의 부정은 "For any δ >0, there is ε >0 such that |f(x)-A|> ε for some 0<|x- α|< δ "이다. 이 부정의 부정이 곧 우리가 사용하는 "x가 α 에 가까이 가면 (α 에 가까이 가는 모든) f(x)가 A에 가까이 간다"라는 용어인 셈이다. 어찌 보면 대학시절 배운 용어의 괴리감이 느껴진다고 할 수 있는 부분이기도 하다. 가까이 갈 때 가까이 가지 않는다는 것의 부정인 셈이다.

한편 여기서 우리는 limit보다 훨씬 세분화된 limit sup와 limit inf를 알 필요가 있다. 먼저 모든 수열에는 수를 무한대까지 확장해서 생각하면 limit sup와 limit inf가 항상 존재한다. 일반적으로 수열은 limit가 항상 존재하는 것은 아니다. 하지만 limit와 관련되어 항상 존재하는 그 무엇이 있다는 것은 매우 안정감을 준다. 또 이 두 값이 일치한다면 그 값이 바로 limit가 된다면 limit에 대한 이해를 돕는데 매우 기여를 하리라고 본다. 이러한 것은 학생들에게는 어려운 개념이므로 설명할 필요는 없지만 교사는 숙지할 필요가 있는 것이다. 이것을 자세히 살펴보면 다음과 같다.1)

수열의 극한을 이해하기 위해서는 기본적으로 증가하는 수열의 극한을 이해할 필요가 있다. 증가하는 수열은 크게 나누어 두 가지를 생각할 수 있다. 먼저 위로 유계(bounded above)인 증가하는 수열과 위로 유계이지 못한(unbounded above) 증가하는 수열로 나눌 수가 있는 것이다. 위로 유계인 증가수열은 그 극한을 그 수열의 상한(sup)으로 실수로 갖고(실수의 least upper bound property) 위로 유계이지 못한 수열은 그 극한을 ∞로 갖는다. 이 ∞는 실수가 아니고 임의의 실수를 생각하더라도 그 수열의 tail part가 그 수보다 커지는 경우를 약속하는 것이다. 다시 말하면 증가하는 실수 수열은 ∞를 포함해서 생각한다면 반드시 극한을 갖게 되는 것이다. 이러한 사실을 이용하면 수열의 limiti inf를 정의할 수 있고 수열은 반드시 limit inf를 갖게 되는 것이다. 같은 방법으로 감소수열에서도 이러한 사실을 적용하면 limit sup를 적용할 수 있고 수열은 반드시 limit sup를 갖게 되는 것이다. 즉 수열은 항상 limit inf와 limit sup를 갖게되며 이 두 값이 일치할 때 우리는 그 수열이 limit를 갖는다라고 할 수 있다. 이때 ∞를 극한으로 취급할 것인가 아닌가는 사실 아무런 문제가 되지 않는다. ∞를 극한으로 취급하자면 그렇게 정의하면 될 것이고 실수가 아닌 값은 극한으로 생각하지 말자면 그렇게 정의하면 될 것이다. 즉 아무런 제약이 없다는 말이다. 필요에 따라 극한으로 인정하여 쓸 수도 있고 안 쓸 수도 있다는 말이다. 이것은 마치 자연수를 0부터 시작하여 넣는 교과서(외국의 일부의 경우)도 있지만 우리 나라처럼 1부터 시작하는 경우도 있는 것이다. 즉, 필요에 따라서 약속하는 것이고 다만 그 교과서에서 언급해주면 그만인 것이다.

2. limit와 관련된 강의 요목
위에서 말한 바와 같이 극한은 넓은 의미의 함수의 극한으로 볼 수 있다. 그것은 크게 수열 의 극한과 함수의 극한으로 볼 수 있다. 수열의 극한은 단순수열의 극한과 급수의 극한으로 나눌 수 있다. 함수의 극한은 단순함수의 극한, 급수함수의 극한 그리고 연속,미분,적분으로 나눌 수 있다. 결국 극한의 이해는 넓은 의미의 함수의 극한으로 이해될 수 있다.

급수의 극한은 부분합이라는 새로운 수열의 극한으로 이해하면 된다. 학생들은 보다 일원화 된 묶음으로 이해시킬 때 그 효과를 극대화할 수 있다. 극한 따로 급수 따로 단편적으로 접근 할 때는 어려움을 겪게되는 것이다.

연속의 개념은 극한의 개념에서 파생되는 자연스런 정의로서 이해하면 된다. 그런데 교사들 이 대학에서 배운 개념은 이러한 개념과 상당히 괴리가 있음을 느끼고 있는데 그것은 왜 그럴까? 이러한 문제를 알기 위해서는 우리는 수학이 지향하고 있는 방향성을 먼저 알 필요가 있다. 즉 수학은 구체적인 것에서부터 추상적으로 발전되는 경향이 있다. 즉 최초에는 거리 개념이 생겨나 그 추상성이 metric의 정의로 발전되었다. 또한 metric을 줄 수 있는 norm의 개념이 하위 개념으로 등장하게 된다. 또한 그 metric의 상위 개념으로 topology가 발생하게 된다. 즉 metric으로 파생되는 topology는 metric topology란 이름을 지니게 되며 metric이 없는 topology도 생각할 수 있으며 여기서 그 어려움이 발생하는 것이다. 보통 topology에서는 연속을 open set의 pre-image가 역시 open set인 것으로 정의된다. 그런데 이 때 위에서 말한 개념과 이 개념은 서로 동치인 것이 알려져 있다. 결국 구체성에서 출발한 개념이 추상적인 틀로서 형태를 갖춘 것이다. 그래서 약간의 어려움을 겪지만 둘 다 각자의 방향성을 갖고 발전하는 것이다. 다만 고등학교에서는 구체성을 지닌 metric topology가 지배할 따름이다. 따라서 교사는 보다 높은 차원에서 추상성이 강조된 여러 정리를 숙지함으로써 현장에서 발생하는 어려운 문제를 관찰할 수 있는 것이다.

미분의 개념은 인간의 매우 자연스러운 발상에서 시작됨을 강조할 필요가 있다. 모든 것이 그렇듯이 간단한 조작에서 복잡한 조작으로의 발전이 있듯이 미분도 그 같은 맥락에서 이해되면 좋을 것이다. 즉 함수에서 가장 간단한 형태라고 할 수 있는 선형함수는 초등학교에서부터 배워왔다. 이것을 affine함수(선형함수의 평행이동에 의한 결과 함수)로 확대하고 결국은 미분 가능한 함수로 확대하려는 의도가 숨어 있는 것이다. 즉 미분 가능한 함수는 국소적으로는 선형함수인 것이다. 또한 극한의 의미에 있어서도 그 동기를 부여할 수 있는 중요한 도구가 될 수 있다. 즉, 미분 가능한 함수의 그래프 위의 한 점에서는 그 기울기가 범위를 축소할수록 더욱 더 한 값에 가까이 간다는 것이다. 우리가 극한을 공부하면서 그 예를 찾을 때 이 기울기 값의 변화를 적용하면 왜 극한을 공부하는지가 명확하게 드러나는 중요한 예가 될 수 있다. 즉, 그 점을 중심으로 원을 그릴 때 그 원의 반경을 축소하면 할수록 그 점을 지나는 그래프가 곡선에서 직선으로 바뀌어 간다는 것이다. 이 말은 곧 기울기의 변동성이 축소되면서 한 값에 가까이 간다는 말이 된다.

한편 이 미분 또한 4개의 개념에서 그 미분가능성을 조사할 수 있다. 즉, 극한이 limit sup와 limit inf가 있듯이 그래프 위의 한 점에서 생각할 수 있는 개념은 좌측에 관한limit sup와limit inf와 우측에 관한 limit sup와 limit inf가 있다. 즉 이 4개의 값이 모두 일치할 때 그 값을 그 점의 x좌표에 대한 함수의 미분계수라 하고 그 x좌표에서 그 함수가 미분 가능하다고 하는 것이다.2)

적분의 개념은 critical point의 개념을 학습하는 자연스런 도입이다. 두 극한이 일치될 때 생기는 개념이지만 학생들에게 그것을 설명하기는 약간의 무리가 있다. 고등학교에서 등장하는 적분은 Riemann적분으로 일종의 약속에서 기인한 값이다. 즉, 이 적분이 절대적으로 완벽한 것이 아니라는 것이다. 다만 Riemann 적분의 의미에서 그 의미가 있다는 것이다. 실제로 Riemann적분이 불가능한 함수가 얼마든지 있다는 말이다. 그런데 고등학교에서 다루는 함수는 모두 연속함수이므로 모두 Riemann 적분이 가능하다. 따라서 모든 학생들은 넓이는 곧 Riemann적분에 의한 것으로 오해할 수도 있는 것이다. 앞에서 말했듯이 간단한 도형의 넓이 또한 모두 합리적인 약속에 의한 것임을 상기할 필요가 있다. 그런데 이러한 도형의 넓이가 Riemann적분과 일치되므로 Riemann 적분이 마치 절대적인 것으로 학생들이 오해를 할 수 있는 것이다. 즉 넓이가 정의될 수 없는 도형이 얼마든지 존재한다는 사실은 한번쯤은 주지시킬 필요가 있는 것이다. 우리는 너무 입시 일변도의 교육을 중시하는 바람에 수학의 바탕에 깔려있는 기본적인 철학이 무시되는 경우를 본다. 어쩌면 넓이가 무엇인가를 명확히 아는 것이 더 필요할지도 모른다. 즉, 넓이가 정의되지 않는 도형을 예를 들어 그와 같은 개념을 심어 주는 것이 바람직할지 모른다. 하지만 너무 그와 같은 개념에 몰두하도록 할 필요는 없다고 본다.

한편 이 적분은 미분의 逆과정을 통해 즉 逆미분을 통해 얻어지는 정적분으로 인해 미분과 의 관련성을 부각시킬 필요가 있다. 이것은 해석학의 기본정리(Fundamental theorem of calculus)로서 매우 중요하다. 어떻게 보면 전혀 관련성이 없을 것 같은 두 개념이 연결되는 수학의 아름다움이 돋보이는 부분이다. 여기에 뉴튼과 라이프니쯔의 이야기가 첨가된다면 학생들에게 매우 흥미를 줄 것으로 기대된다.

한편 기울기의 확장된 개념이 미분이듯이 즉 locally linear인 함수가 미분 가능한 함수이듯 이 Riemann 적분의 확장된 개념으로 Lebesgue 적분이 있음을 알 필요가 있다.

나아가서 Riemann 적분은 유한개의 구간에서 발생하는 포함되는 직사각형들의 넓이의 합의 상한과 포함하는 직사각형들의 넓이의 합의 하한이 일치되는 경우에 그 정의가 가능하다는 것을 요약적으로 숙지하는 것이 필요하다. 한편 Lebesgue적분은 구간 대신에 구간(interval)의 확장 개념인 Lebesgue measurable subset을 대신할 뿐 그 차이는 없다. 즉 모든 수학의 개념은 가장 기본적인 간단한 개념에서 조금씩 조금씩 발달된 개념으로 전이된 것이라 보면 된다. 한편 Lebesgue적분은 적분의 입장에서 최종적인 것이라고 볼 수 없다. 얼마든지 새로운 일반적인 적분이 탄생할 수 있다. 그것은 Lebesgue적분이 Lebesgue measure에 의해서 탄생되었듯 이 새로운 measure에 대해서 또한 새로운 적분이 탄생되고 사용될 수 있는 것이다.

Ⅲ. 현장교육
1. 현장교육에서의 문제점
현장에서는 극한의 개념을 이해한 바탕에서의 학습이라고 보기에는 너무나 큰 틈이 있으며 이것을 해소하기 위해서는 먼저 교사의 확실한 개념 정립이 시급한 실정이다. 즉, 기본적인 원리에 바탕을 두지 않은 지도는 학생들을 수학과 멀어지게 하는 주요 원인이라고 생각된다. 이러한 점을 보완하기 위해서는 극한 개념을 바탕으로 하여 그 idea를 학생들에게 전달해 주는 것이 무엇보다 시급하다 하겠다. 어떤 공식을 주입하기보다는 그 공식을 생성시키는 기본 원리를 이해시키는 것이 더 중요하다고 본다. 또한 그 원리는 학생들이 접하기 쉽고 이해하기 쉬운 것을 예로 들어 그 부담감을 최소화하는 것이 중요하다고 본다. 또 극한을 바탕으로 관련된 여러 개념을 연결시키는 고리 또한 중요하다고 본다. 각 개념들이 단편적으로 주입되다가 보면 학생들이 기계적으로 문제해결에 접근하는 경향이 있다. 그러나 이러한 개념들이 마치 chain처럼 연결된다면 스스로 문제를 만들고 해결하는 위치에도 이르게 할 수 있는 것이다. 우리 학교 교육은 어쩌면 창의성을 해치는 교육으로 흐르는 경향이 있다. 충분한 개념이 정립 되지 않은 상태에서 기존의 문제만을 해결하는 능력만이 전부인 것처럼 인식될 때 새로운 개념을 창조하거나 응용문제를 해결하는 능력은 발휘되지 않으리라 본다. 예를 들면 넓이문제만 해도 그렇다. 넓이를 계산하는 능력에만 집중한다면 그 넓이가 무엇인지도 모르고, 즉 그 넓이란 것이 인간이 정한 하나의 약속이란 사실을 망각하고 새로운 확장된 개념의 넓이란 것은 상상조차 할 수 없게 만드는 것이다. 다만 어떻게 하면 그 넓이를 계산할 수 있는 가에만 총력을 기울이는 기계적인 작업에만 몰두하게 하는 것이다. 물론 이론적인 면만 추구하다 보면 기본적인 계산조차 할 수 없는 경우도 발생하는 경우가 있다. 하지만 교사들이 기존의 문제에만 국한하지 말고 새로운 창의적인 문제를 만들어내는 노력이 없고서는 학생들도 그 교사의 능력을 벗어나 창의적인 사고를 할 수 없게되는 것이다. 교육이라는 것은 어쩌면 일종의 반복적인 작업을 통하여 이루어진다고 볼 때 교사들은 기본 철학을 갖고 그것을 학생들에게 반복적으로 학습시키는 것이 중요하다고 본다. 앞에서도 말한 바와 같이 넓이란 것은 어떤 사람이 합리적으로 적당하게 약속한 하나의 개념이므로 학생들도 이러한 개념을 확장하여 더 넓은 개념의 넓이를 정의(약속)할 수도 있다는 사실을 설명해 준다면 기계적인 사고에서부터 자유롭게 될 수 있는 것이다.

또한 개념의 설명에서도 보다 유연한 입장을 취하는 것이 중요하다고 본다. 극한이란 것이 아무나 이해할 수 없는 마치 거창한 것이나 되는 것처럼 다가선다면 학생들은 지레 겁을 먹고 마음의 문을 닫아버려 시도도 해 보기 전에 포기하는 경향이 있음을 현장에서 접할 수 있다. 이러한 새로운 개념을 설명할 때에는 교사 나름대로의 노력이 필요하고 본다. 예를 들면 0.9, 0.99, 0,999,   같은 학생들이 이미 알고 있는 지식을 바탕으로 이러한 수가 어디로 가고 있는지를 묻는다면 학생들은 누구나 다 1로 간다는 대답을 유도할 수 있다. 이때가 사실 중요한 갈림길이라고 본다. 어떠한 교사들도 여기까지는 같다고 본다. 하지만 그 다음이 중요한 Point 이다. 마치 물이 0도에서 얼음을 만들 수도 있지만 자칫 잘못하면 그대로 물로 남을 수도 있다. 즉, 이러한 점을 우리는 critical point라고 하는데 이 순간이 바로 학생들이 개념을 정확히 잡느냐 못 잡느냐의 critical Point인 셈이다. 즉, 교사는 이때 1이 바로 그 수열의 극한이라고 할 것이다. 그러나 그 다음 순간 많은 학생들은 혼돈에 빠진다. 교사는 이러한 혼돈을 이해하고 학생들의 입장에서 접근하는 것이 무엇보다 절실하다. 보통 학생들은 그 수열이 1까지 도달한다고 오해를 하고 있다. 하지만 결코 그 수열은 1과 일치되는 순간이 없다. 그것을 강조할 필요가 있지 않을까? 다만 가까이 갈 뿐이라는 사실을 인식시킬 필요가 있다. 즉, 1 근처(open neighborhood of 1)에 그 수열의 꼬리(tail part) 부분이 모두 들어간다는 사실이다. 또 많은 학 생들이 0.999 가 움직이는 수로 오해하는 경우를 종종 본다. 모든 표현은 명확할 필요가 있다. 만약에 교사가 이 사실을 명확히 알지 못한다면 학생들이 오해를 하는 것은 어쩌면 당연한 일인지도 모른다. 0.999 는 극한과 관련된 그 지도에서 매우 중요한 critical point 이다. 즉, 0.999 는 (고정된) 한 數라는 사실이다. 다만 그 표현이 마치 어디를 향해 달려가는 움직이는 수처럼 보일 뿐이다. 보다 정확히 말하면 0.999 는 앞에 말한 수열의 limit의 한 표현 방법인 것이다. 즉 수열의 극한은 고정된 확정된 수이지 움직이는 수가 아니라는 것이다. 이와 같이 교사는 학생들이 오해하기 쉬운 부분을 직접 찾아서 사전에 그 혼선을 방지하는 것도 필요하다고 본다. 여기서 물론 어떤 수열은 그 tail part가 그 극한과 일치할 경우도 있음을 밝혀 둔다. 그러나 여기서는 일반적으로 꼭 일치하지는 않는다는 사실을 강조한 것이다.3)

2. 효율적인 지도법
효율적인 지도법을 위해서는 무엇보다도 교사의 극한에 대한 이해가 필요하다. 먼저 교사들 은 극한이 어떤 점 근방(open neighborhood)이라는 개념에서 출발한 역사적인 관점에서 출발 한다는 사실을 인식했으면 한다. 어떤 개념의 그 역사적 배경은 그 개념을 이해하는데 중요한 열쇠를 제공할 수 있기 때문이다. 고래로부터 인간들은 실재 존재하는 수 즉 우리가 흔히 말하는 실수(0과 단위점을 설정한 직선(數直線)위의 점에 해당하는 量的 개념)를 표현하고 싶어했다. 처음에는 (수학의 발상지라고 할 수 있는 Greece사람들은) 그러한 실수가 유리수로만 되어 있다고 생각했으나 의 발견으로 자신의 오류를 깨닫게 되었다. 그러나 그 표현방법(유리 수로서 실수를 표현하는 방법)을 오랫동안 발견하지 못하고 고민하던 중 최근에 와서야 이 근방이라는 개념을 도입함으로써 해결할 수 있었던 것이다. 즉, 거리(metric)개념을 바탕으로 수 직선상의 한 점에 대한 근방(open neighborhood)이라는 개념을 생성하고 tail part가 모두 그 근방에 들어가는 적당한 유리수들의 수열로서 그 점을 성공적으로 표현할 수 있게 된 것이다 (유리수열을 이용한 실수의 표현으로 Cantor의 방법으로 알려져 있음). 이로부터 자연스럽게 topology란 학문이 발생하여 그 추상화에 성공을 거둔 것은 잘 알려져 있다.

한편 이러한 극한의 개념으로부터 연속성이 중요한 역할을 담당하게 되었다. 즉, 함수의 연 속성은 위상적인 여러 개념을 잘 보존함(connectedness, compactness의 보존 등)으로써 매우 중요하다.

한편 이 극한을 기하학적인 성질(기울기 개념)에 적용하면 미분이 자연스럽게 탄생이 되는 것이다. 이러한 미분을 함수에 적용하면 도함수를 얻게되고 이 도함수의 逆과정이 곧 逆微分인데 놀랍게도 이 역미분은 함수의 정적분의 계산에 응용(해석학의 기본정리: Newton, Leibniz에 의해 발견)된다. 한편 고등학교에서 등장하는 정적분은 Riemann에 의해 발견되어 Riemann 적분이라고도 한다. 이것은 종전의 간단한 기하학적인 도형의 넓이 개념을 확장한 것으로 이 역미분의 방법이 없었다면 매우 복잡한 방법으로 즉, 극한을 이용하여 계산해야 했던 것이다. 이렇게 본다면 모든 복잡한 해석학의 여러 개념이 극한, 나아가서는 유리수를 이용 하여 실수를 표현하는 방법,더 나아가서는 의 발견으로 귀착되는 그 역사적인 배경을 갖고 있다 하겠다.4)

3. 유의사항
한편 현장지도와 대학에서 배운 내용에서의 관련성과 더불어 다음의 내용을 숙지하면 도움 이 되리라 본다.

1) 무한대란 무엇인가?
일단 무한대란 실수가 아니다. 즉 수가 아니다. 그러면 수가 무한대로 가까이 간다는 말은 무엇인가? 이 말은 어떤 수 보다 크게 된다는 뜻이다. 예를 들면 f(x)= ∞란 말은 x를 0에 가까이 보내면 f(x)는 얼마든지 크게 할 수 있다는 말이다. 즉 하나의 개념이다.

2) 최대 · 최소값의 정리는?
compact인 집합의 연속함수의 image는 역시 compact이다 즉 closed interval(compact set) 의 연속함수의 image는 compact set이므로 역시 closed이고 bounded이다. 즉 최대 및 최소값을 갖는다. 여기서 connected set의 연속함수의 image 또한 connected 이므로 중간값의 정리를 얻을 수 있다. 즉 closed interval(connected set)의 연속함수의 image는 connected set 이므로 그 image의 중간에 있는 값에 대한 pre-image가 그 구간 내에 존재하는 것이다. 이것은 연속 함수가 compact set와 connected set에 대해서 불변의 성질을 갖는 중요한 사실에서 비롯된 간단한 이론으로서 널리 쓰인다.5)

3) 접선이란?
일단은 무조건 존재하는 것은 아니란 것을 강조하고 싶다. 흔히 등장하므로 모든 곡선에 접 선이 있는 것으로 오해하기 쉽다. 매끈한 곡선, 즉 미분 가능한 곡선만이 접선을 갖는다. 좀 더 정확히 말하면 곡선 위의 한 점에서의 순간 기울기 즉 미분계수를 곧 그 점을 지나는 직선 의 기울기로 하는 직선이 접선의 정의이다. 다시 말하면 접선이 있어야 그 접선의 기울기가 있는 것이 아니라 미분 가능해야 미분계수가 있고 그것이 곧 접선의 기울기가 되는 것이다.

4) 극대와 극소란?
극대와 극소의 개념에 대해서 언급할 때는 open근방이 필요하다. 즉 어떤 x좌표의 점(정 의역의 한 점)의 open근방에서 비교할 때 그 점의 함수 값이 최대이면 그 점에서 극대라고 한다 이 개념은 local maximum의 개념이다. 극소 또한 같은 방식으로 이해하면 된다.

5) 부정적분이란?
여기서 왜 不定이란 단어를 사용한 것인가? 해석학의 기본정리는 정적분은 逆미분 함수를 이용하면 된다는 것이다. 이때 이 역미분 함수는 서로 상수만큼의 차이가 있는데 이 상수가 정해져 있지 않으므로(indefinite)즉 不定의 상태인 것이다. 따라서 차라리 역미분함수라고 하는 것이 타당한지도 모른다. 실제 외국의 많은 text에서 역미분이라고 쓰는 예를 자주 본다. 한편 f(x)dx에서 보듯이 dx는 아무런 의미가 없다. 즉 곱하기가 아닌 것이다. 다만 f(x,y)dx 에서와 같이 혼선이 있을 때, 즉 x에 관해서 적분한다고 명확히 할 때만 그 의미가 있는 것이지 그렇지 않을 때에는 쓰지 않아도 무방한, 말 그대로 dummy index이다. 하지만 이것을 쓰지 않으면 꼭 마치 무슨 일이라도 있는 것처럼 강요하는 것은 온당하지 못하다고 본다. 그 사실을 알고 쓰는 것과 이유도 모르고 쓰는 것과의 차이는 분명히 있는 것이다.

6) ab의 의미는?
한편 지수 방정식에서 흔히 나타나는 해로서 이 있다. 이것은 어떤 의미일까? 즉 답에만 치중하지 말고 ab의 의미는 무엇인가 생각해볼 필요가 있다. 이것을 이해하기 위해 서는 극한의 개념이 꼭 필요하다. 먼저 aq (단, q는 유리양수)의 의미를 알아볼 필요가 있다. 이때 가장 기본이 되는 것은 x에 관한 방정식 xⁿ = am (단, a는 양수이고 n, m은 자연수)의 단 하나 뿐인 陽數解인 이다. 즉 우리는 aq (단, a는 양수이고 q는 유리양수)의 의미는 알았다. 양수 b는 증가하는 유리양수들의 극한(즉 b= qn, 여기서 qn 은 b에 수렴하는 증가하는 유리양수)으로 표현되므로 함수 f(x) = ax가 연속함수임을 이용하여 ab = aqn 으로 정의한다( b에 증가하며 수렴하는 qn의 선택에 관계없이 일의적으로 정의된다). 한편 b가 음수이면 역수를 이용하면 된다. 즉 ab= 을 이용하면 역시 정의할 수 있다. 한편 a가 음수이면 정의가 더욱 복잡해진다. 즉 ab = (단, n은 정수)이다(단, ez = ). 물론 이러한 것을 학생들에게 지도할 필요는 없지만 그 대강 정도는 알고 있음이 유용하리라 본다.

4. 학생들의 지도에 있어서의 괴리 극복
실제 현장에서 교사가 학생을 지도할 때에는 교사가 대학에서 배운 내용을 주입할 필요는 없다고 본다. 다만 그만한 지식을 갖고 임하느냐 아니냐는 매우 큰 문제라고 생각한다. 나름대로의 방식으로 주어진 내용을 얼마나 쉽게 전달하는가는 교사 자신의 노력에 달려 있다고 본 다. 어떠한 경우에는 쉽게 전달하려다가 도리어 잘못된 방향으로 학생들을 이끌 수 있을 것이다. 그러므로 교사의 부단한 노력이 필요하다고 본다. 하지만 기본적인 철학만 지닌다면 크게 잘못된 방향으로 이끌지는 않으리라 본다.

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참고문헌
박을룡 외, 수학대사전, 창원사, 1975.
백인수, 중학교 수학교육에서 수의 이해, 외대논총 제19집 4호, 479-485, 1999.
Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill Book Company.

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각 주
* 이 논문은 2000년도 부산외국어대학교 교육대학원 교과교육학 연구지원비에 의해 연구되었음.
1 참고문헌 3. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill Book Company, 1976.
2 참고문헌 3. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill Book Company, 1976.
3 참고문헌 2. 백인수, 중학교 수학교육에서 수의 이해, 외대논총 제19집 4호, 479-485, 1999
4 참고문헌 1. 박을룡 외, 수학대사전, 창원사, 1975.
5 참고문헌 3. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill Book Company, 1976.

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이력사항

백인수
이공대학 수학과 교수

전제기
경주시 계림고등학교 수학교사