바둑의 실행영역은 2차원 좌표 평면이다.
간단히 평면에서 가능한 틀의 경우를 검토해 보자.
"틀"의 구성요소가 공집합이라 가정하면, "틀"의 경계(틀)만을 가지고 각 경우를 생각할 수 있다.
"틀"의 구성요소가 없는 "틀"의 경계(틀)를 ○로 표시하면, 하나의 "틀"을 ○로 표시할 수 있다.
● : "틀"의 구성요소이다. (틀은 아니다)
○ : "틀"의 구성요소가 없는 단일 구조(틀)이다.
이제 바둑에서 필요로 하는 "틀"의 관계들을 나열하면,
○ ○ : 두개의 틀이 서로 분리되어 있다. (직접적인 관계가 없다)
--- 두 원이 서로 접근하는 걸로 비유할 수 있다.
: 두개의 틀이 접하고 있다.
--- 바둑에서는 하나의 자리에 흑과 백이 동시에 자리할 수 없으므로 이러한 관계를 배제한다.
: 두 개의 틀이 교차하고 있다.
--- 바둑에서는 교차하는 자리가 없다. (있을 수 없다)
--- 둘 이상의 틀이 교차하는 경우는 순차로 이해하면 되므로 생략한다.
◎ : 하나의 틀이 다른 틀을 포함하고 있다.
⊙ : "틀"이 하나의 틀과 하나의 구성요소를 가지고 이루어져 있다. (구성요소가 존재)
--- 포함된 "틀"이 구성요소를 갖지 못하여 "틀"이 되지 못한다.
○ : 구성요소가 공집합이다. (관계하지 않은 "틀"이다)
--- 포함된 "틀"이 틀과 구성요소 어느 것도 없으므로 억지로 표현하자면 무의 "틀"이다.
1. ○과 ⊙
○ : "빈울" = { 둘러섬(○) : 안섬(φ) } --- "틀"의 경계가 둘러섬이고, "틀"의 요소가 안섬이다.
⊙ : "한울" = { 둘러섬(○) : 안섬(*) }
돌의 놓음을 가정하면 놓으려는 돌의 종류에 따라서 빈울, 한울이 결정된다.
즉, 놓음 하려는 "틀"의 요소(돌)를 p로 가정하면,
p에 대해서 둘러섬이 q의 돌둑이면 한울이 되고, p에 대해서 둘러섬이 p의 돌둑이면 빈울이 된다.
2. (교차)와 ◎(포함)
"두울" = { 둘러섬 쌍 : 안섬쌍 } --- 교차형과 포함형의 조합으로 이루어 진다.
--- 두 개의 한울이 서로 교차 내지 포함인 관계로 다시 구성 된 것이다.
'교차' : 가장 일반적인 경우이고 패가 여기에 속함을 알 수 있다.
--- 결국 둘러섬의 일부가 상대의 둘러섬에 포함이 되어 안섬을 이루고 있다.
'포함'은 경우에 따라서 순환이 가능한 구조이다.
--- 포함의 형태가 두 벌로 그 크기가 같으면, 순환이 이루어 진다.
요약 : 바둑 판에서 가능한 "틀"의 최소 형태들은 { 빈울, 한울, 두울 }이고 이들의 총칭이 "여울"이다.
[~] 여울의 기본규칙