[ㅍ] 計算機를 活用하여 問題 解決 指導를 위한 瓷料 開發에 대한 硏究

목 차

Ⅰ. 서론
Ⅱ. 초등 학교 수학과 계산기
1. 수학교육에서 계산기의 사용에 대한 부정적인 견해
(1) 학생들이 계산기를 사용하면 그들은 생각하지 않는다.
(2) 계산기는 학생들의 수학 학력에 해롭다.
2. 수학교육에서의 계산기
(1) 개념 학습에서의 계산기
(2) 문제 해결에서 계산기
(3) 기초 기능을 계발하는 데 있어서의 계산기
(4) 평가에 있어서의 계산기
(5) 계산기의 잘못 사용
Ⅲ. 제 6차 교육과정에서의 문제 해결
1. 1학년 교육 목표
2. 2학년 교육 목표
3. 3학년 교육 목표
4. 4학년 교육 목표
5. 5학년 교육 목표
6. 6학년 교육 목표
Ⅳ. 계산기를 활용한 문제 해결을 위한 자료
1. 규칙 찾기
(1) 수를 통한 규칙 찾기
(2) 수 규칙을 찾는 게임
(3) 연산 규칙을 찾아 계산하는 게임
2. 규칙을 찾는 전략에 이용되기
3. 추측과 점검하는 전략에 이용되기
4. 도표(chart)를 만드는 전략에 이용되기
5. 조직적인 목록(list)를 만드는 전략에 이용되기
Ⅴ. 결론
--------------------------------------------------------------------------------
발행자명 서울교육대학교 과학교육연구소 
학술지명 (科學과 數學敎育)論文集 
ISSN  
권 23 
호  
출판일 1997.  

 

 

 

計算機를 活用하여 問題 解決 指導를 위한 瓷料 開發에 대한 硏究

The Study of Developing Materials on Teaching of Problem Solving by Using a Calculator

배종수
(Bae, Jong-Soo)
8-667-9701-04

--------------------------------------------------------------------------------

Ⅰ. 서론
지금은 정보화 시대라는 용어를 특별히 사용한다면 오히려 이상하리만큼 컴퓨터나 전자 매 체의 발전으로 인하여 세상의 일들이 매일 매일 급하게 변해 가고 있다. 더욱이, 학교 교육의 교육과정은 이와 같은 변화에 부응하기 위하여 5년 내지 6년의 주기를 두고 바뀌고 있음은 주지의 사실이다.

수학 교육에서도 이와 같은 변화에 부응하기 위하여 계산기와 컴퓨터를 수학 교육에 활용하 기 위하여 많은 연구를 하였고, 아울러 계산기와 컴퓨터를 오래 전부터 수학 교육에 적용해 오고 있다. 특히, 전 미국 수학 교사 협의회는 NCTM(the National Council of Teachers of Mathematics)의 추천 3에서 '수학 프로그램들은 모든 학년에서 계산기와 컴퓨터의 충분한 장점을 취하여야만 한다'고 주장하고 있었다. 이 추천에서 계산기와 컴퓨터는 종이와 연필로 계산하는 모든 알고리즘 기능들을 대신하는 도구로서가 아니라 수학을 교육하는 하나의 도구로서 중핵 수학 교육과정으로 통합될 수 있도록 학생들에게 제공되어야 한다고 주장하고 있다.

따라서, 미국을 비롯한 많은 나라에서는 이미 계산기를 초등 수학 교육에서 활용하고 있었다. 우리 나라의 경우에는 제 5차 교육과정 개편 때부터 계산기와 컴퓨터를 수학 교육 현장에 적용하는 문제를 논의하였다. 그러나, 학생들이 많은 계산을 계산기를 사용했을 때의 피해와 우리 나라 교육 현실을 감안하여 계산기의 활용을 보류하였다. 물론 제 6차 교육과정에서도 똑같은 관점에서 논의는 하였으되 보류되었다.

이와 같은 논의는 계산기를 단지 연필과 종이로 하는 계산의 대용품으로 인정하였다는 점과 수학 교육 목표 중의 하나인 중요한 문제 해결력 신장시키는 도구로서의 계산기를 인정하지 못했다는 점에 대하여 비판을 듣게 되었다.

따라서, 본 연구에서는 수학 문제 해결을 가르치는데 필요한 자료를 개발하기 위하여 계산 기를 수학 교육의 하나의 도구로서 활용할 목적과 그에 따른 필요성으로 연구하게 되었다.

Ⅱ. 초등 학교 수학과 계산기
전 미국 교사 협의회인 NCTM(1987, 1989)에서는 모든 학년에서 실제 수업 또는 평가 심지어 가정 학습까지도 계산기가 사용되도록 추천하였고, 계산기는 학습자에게 언제든지 이용될 수 있어야 한다고 주장하였다. 오늘날의 어린이들은 학교 밖에서 과학 기술과 함께 살고 있다. 많은 어린이들이 가정에 계산기를 가지고 있으며, 그들은 물건을 사고 팔 때 계산기가 쓰여지는 것을 보고 있다. 그렇기 때문에 학교는 학생들이 계산기의 힘을 발견할 수 있도록 도울 책임이 있고, 어린이들이 초등 학교에서 수학을 배우고 행할 때 계산기를 이용하여야 한다고 한다. 그러므로 초등 학교 수학에서의 새로운 방향은 계산기의 사용을 포함하여야 한다고 주장한다.1)

1. 수학교육에서 계산기의 사용에 대한 부정적인 견해
비록 계산기가 광범위하게 이용될지라도, 학급에서 계산기를 최선으로 이용되기 전에 극복 되어야 할 것들이 여전히 많이 남아 있다. 그것은 계산기 활용에 대한 두려움과 부정적인 시각이다.

(1) 학생들이 계산기를 사용하면 그들은 생각하지 않는다.
계산기는 스스로 생각하지 않고, 오직 학생의 지시를 따르기만 한다. 그러므로 문제 해결을 위한 학생의 옳은 문제 해결 전략이 이용되어져야만 한다. 계산기로 해결하는 다음 문제를 생각해 보자.

한 개에 400원 하는 사과를 6개 사고 한 개에 650원 하는 배를 3개 샀습니다. 돈은 얼마를 지불하여야 합니까?

만일 계산기가 답을 발견하는 데 이용되었다면, 계산기가 문제를 해결했는가? 계산기가 어떤 글자판을 누를 것인가를 결정하고 글자판을 누르기 위하여 무엇을 하였는가? 계산기는 결과를 해석할 수 있는가? 이와 같은 문제는 계산기가 문제를 해결할 수 없음을 생생하게 보여 준 것이다. 즉, 계산기는 학생들의 지시만 따를뿐이다.

사실, 계산기의 사용은 실제로 학생들의 사고를 증가할 수 있다는 논의들이 있다. 더 구체적으로, 학생들이 짜증스럽고 지루한 계산으로부터 해방은 학생들로 하여금 셈 계산에 앞서는 중요한 문제 해결 과정에 몰두하도록 하는 것이다.

(2) 계산기는 학생들의 수학 학력에 해롭다.
많은 학부모들과 교사들은 학생들이 계산기에 의존하면 학생들이 어떻게 계산하는 가를 잃 어버릴 것이라고 걱정하고 있다. 이것은 조사에 의하여 옳지 않다고 한다. 특히 계산기의 사용이 학생들의 수학 학력에 해로운지를 조사하는 연구가 있었다. 연구 결과는 언제나 '계산기는 학력에 반대하는 효과가 나타나지 않다 '는 것이었다.2) 또 다른 연구 결과는 '계산기는 기본적인 연산과 문제 해결에서 종이와 연필로 계산하는 보통 수준의 학생들의 학력을 올릴 수 있다고 한다.3) 더욱이, 계산기를 가지고 사용하는 학생들은 수학에 대하여 좋은 태도를 갖고 계산기를 가지고 있지 않는 학생들에 비교하여 수학에서 자아 개념을 더 가지고 있다고 한다. 그러므로 교사는 가르치는 데 있어서 계산기의 사용을 효과적으로 할 뿐만이 아니라 계산기 사용을 두려워 하는 회의론자들을 도와야 한다.

2. 수학교육에서의 계산기
계산 기능은 기초 기능으로서 수학 교육에서 아주 중요하게 다루고 있다. 그러므로 계산 기 능은 학습되어져야만 한다. 즉, 정확하고 신속하게 계산하는 능력을 기르는 것은 중요하다. 그러나 이것은 계산기 사용의 배제를 의미하는 것이 아니다. 계산기는 계산이 필요한 곳에 적당 한 때에 이용되어져야 한다.

계산기는 아이들이 개념들을 발전하는 데 도움을 줄 수 있고, 조작 활동과 종이와 연필로 할 수 없는 방법으로 문제 해결에 임할 수 있다. 계산기는 기능들을 계발하는 데 이용될 수 있다. 계산기는 평가에서 중요한 역할을 하고 수학에 대한 긍정적인 태도를 계발하는 데 이용된다.4)

(1) 개념 학습에서의 계산기
계산기는 어린이들이 개념을 학습하는 데 도움을 주고 학생들이 종이와 연필만으로 문제들을 해결하기 보다 더 많은 예들을 다룰 수 있기 때문에 규칙을 인지하는 데 도움을 준다. 많은 예들을 궁리하는 것은 학생들이 개념이나 규칙의 특성을 구별하는 것을 인지하게 한다. 학생들은 작은 수들로 학습하는 것을 큰 수들로 확대할 수 있기 때문에 학생들의 이해를 깊게할 수 있다. 어린이들은 계산기를 사용함으로써 수 관계에 대한 그들의 가정을 검토하는 경험을 할 수 있다. 그런 경험을 통하여 범자연수와 소수에 관한 수 감각을 계발할 수 있다. 계산기를 이용하여 계발하거나 확장시킬 수 있는 아이디어들은:

· 1씩 또는 몇 씩으로 셀 수 있다.

· 세는 데, 기초적인 사실들을 나타내는 표, 수열 들이 있다.

· 곱셈은 반복되는 덧셈, 나눗셈은 반복되는 뺄셈이다,

· 자리 값 표기는 10의 거듭제곱, 즉 10 100, 100…에 의하여 곱셈과 나눗셈의 기초이다

· 덧셈과 곱셈의 교환 법칙과 결합 법칙의 성질들은 범 자연수와 소수에도 적용된다.

(2) 문제 해결에서 계산기
문제 해결은 계산기의 사용에 의하여 신장된다. 조사에 의하면, 아이들이 계산기를 사용할 때 문제 해결의 시험에서 학생들의 점수가 향상되었다는고 밝히고 있다.5)

또, 문제 해결에서 학생들에게 계산기 사용을 허가할 때, 학생들은 적당한 문제 해결 전략들을 선택하고 이용하며, 문제 해결에 흥미와 신뢰는 더 갖게 된다고 밝히고 있다.6)

문제를 해결하기 위하여 계산기를 사용하는 것은 학생들로 하여금 가능한 해들을 탐구하게 하고 그들의 감각을 평가하게 한다. 종이와 연필로 하는 계산의 지루함으로부터의 자유롭기 때문에 학생들은 문제를 이해하기 위하여 다른 접근들을 시도할 수 있고 해결의 방법을 결정할 수 있다. 그들은 의미들이 분류되고 의미있는 해결들이 결정될 때까지 문제들을 가지고 자유롭게 생각하고 즐길 수 있다.

계산기는 학생들이 문제 해결을 그들의 세계와 연결시키게 할 수 있다. 학생들은 경제 인 구, 공기 오염, 스포츠 통계, 정부 활동과 같은 보고서에 나타나는 정보들로부터 수많은 문제들을 창조하고 해결할 수 있다. 그런 문제들은 세계를 더 이해하기 쉽게한다. 그러나, 계산의 복잡성은 단지 종이와 연필만으로 계산하는 초등학교 학생들에게는 그런 문제들을 접근하지 못하도록 만든다.

계산기는 어린 아이들이 종이와 연필로 계산하는 방법을 알기 이전에 큰 수로 문제를 해결 하는 것을 가능하게 한다. 학습자들이 기초적인 사실을 공부할 때 계발되는 연산의 의미들은 큰 수들로 이루어지는 문제를 해결하기 위한 기초가 될 수 있다. 그들이 연산들을 이해하고 계산기의 사용을 어떻게 사용하는 가를 알 때 학습자들은 몇 십 또는 몇 백을 포함하는 학교나 가정, 공동체의 문제들을 해결할 수 있다. 이들 문제들의 해결은 흥미를 더하고 수학 공부의 유용성을 첨가한다.

계산기 사용의 이익은 너무 크기 때문에 아이들은 문제를 해결하기 위하여 계산기를 사용할 기회를 거부해서는 안된다. 만일 아이들에게 계산기의 사용이 허용된다면, 아동들은 문제를 해 결하는 매력을 발견할 것이고 복잡하고 교모한 문제들을 해결하는 데 참고 견딜 것이다.

(3) 기초 기능을 계발하는 데 있어서의 계산기
계산기는 아동들이 기본적인 사실들을 숙달하고 예측하는 기능을 발전시키는 데 도울 수 있다. 기초 기능들을 연습하기 위하여 계산기를 사용할 수 있다. 기초 기능을 연습하기 위하여 게임이 계산기로 역시 될 수 있다. 아동들은 계산기 화면으로 범 자연수와 소수에서 그들의 예측에 대한 정확성을 점검함으로써 예측에 대한 기능을 발전시킬 수 있고 그렇게 함으로써 그들의 예측을 적당하게 하는 것을 배운다. 역시 아동들은 계산하는 예측을 배우기 위하여 계산기게임을 할 수 있다.

(4) 평가에 있어서의 계산기
조사에 의하면7) , 만일 아동들이 계산기의 사용에 관한 교육을 받았다면 그들은 평가에서 계 산기의 교육을 받지 않고 계산기를 사용하지 않은 학생들보다 계산기의 사용을 허용했을 때 평가에서 많은 점수를 얻었다고 한다. 다른 보고에 의하면,8) 아동들은 평가 상황에서 효과적인 도구로서 사용되어질 수 있다면 계산기와 친숙해질 필요가 있다고 보고하고 있다.

만일 교육과정이 문제 해결을 더 강조한다면, 종이와 연필로 계산하는 것을 적게 강조하고, 수학을 배우는 데 계산기 사용에 초점을 맞추고, 평가는 새로운 방향을 반영하여야 할 것이다.

Williams은9) 계산기가 평가에 사용되기 전에 3단계를 제시하였다. 첫째 단계: 모든 학년의 학생들은 계산기를 사용할 것이다. 둘째 단계: 계산기를 활용하는 교육과정이 설계되고 학교에서 실행될 것이다. 그런 교육과정은 연필과 종이로 계산하는 방법을 적게 강조할 것이고 계산 기능보다는 문제 해결과 응용을 강조할 것이다. 셋째 단계: 학생들은 계산기 사용을 위하여 설계된 평가에서 계산기를 사용할 것이다. 그런 평가는 정확한 답들보다는 계산의 이해를 강조할 것이다.

(5) 계산기의 잘못 사용
학생들이 계산기를 단지 종이와 연필로 한 계산을 점검하기 위하여 사용한다면 이것은 잘못 사용한다.10) 계산기는 계산하기 위하여 수 아이디어들을 탐색하기 위하여 존재한다. 계산기는 종이와 연필 계산을 점검하기 위하여 지각있는 국민에게 이용되는 것이 아니다. 이와 같은 방법으로 어린이들에게 이용되어서도 안된다. 예측은 답의 정당성을 확립하기 위하여 만들어지고 점검은 계산기를 조작하는 것이 옳은 가를 확인하기 위하여 계산기로 계산을 다시 하는 것을 포함하여야 한다.

계산기는 수를 공부하기 위한 많은 도구들의 하나이어야 한다.11) 학습자들은 구체물로 활동 함으로써 수 개념들을 건설할 필요가 여전히 있다. 계산기는 구체물과 그래프 자료들로 대치될 수 없다. 계산기는 아이들이 수에 대하여 생각할 수 있기 때문에 아이들이 계산기를 의미있게 사용할 때에만 학습에 공헌할 수 있다

Ⅲ. 제 6차 교육과정에서의 문제 해결
제 6차 교육과정의 수학과에서 지도해야 할 문제 해결과 관련된 내용은 다음과 같다.

1. 1학년 교육 목표
· 실생활과 수학에 관련된 문제 상황을 보고 그림이나 조작활동을 하게하여 문제 해결에 기 초가 되는 간단한 식을 만들 수 있게 한다.

· 간단한 식을 보고 문제 상황을 말로 표현할 수 있게 한다.

2. 2학년 교육 목표
· 수학에 관련된 그림이나 문제 상황을 보고 그림이나 조작활동을 하게하여 문제 해결에 기 초가 되는 간단한 식을 만들 수 있게 한다.

· 간단한 식을 보고 문제를 만들 수 있게 한다.

· 간단한 적용 문제를 풀 수 있게 한다

3. 3학년 교육 목표
· 문제 해결 과정의 기초로서 문제를 보고 식을 만들 수 있게 찬다.

· 식을 보고 문제를 만들 수 있게 한다.

· 문제 해결 과정을 알게 하고, 간단한 적용 문제를 풀 수 있게 한다.

· 주어진 문제를 단순화해서 풀 수 있게하여 문제 해결의 기초적 기능을 기르게 한다

4. 4학년 교육 목표
· 문제 해결 과정의 기초로서 혼합 계산이 적용되는 식을 만들 수 있게 한다

· 혼합 계산이 적용되는 문제를 만들 수 있게 한다.

· 문제 해결 과정을 알게 하고, 과정 문제, 실생활과 관련된 적용 문제, 게임 문제, 퍼즐 문 제 등을 풀 수 있게 하여 문제 해결의 기초적 기능을 기르게 한다.

5. 5학년 교육 목표
· 문제 해결의 구체적 방법을 찾아 내어 다양한 유형의 문제, 게임 문제, 퍼즐 문제 등 여러 가지 문제를 풀 수 있게 한다.

6. 6학년 교육 목표
· 주어진 문제를 선택된 방법, 또는 다양한 방법으로 풀 수 있게 하고, 게임 문제, 퍼즐 문 제, 여러 가지 문제 등을 풀 수 있게 한다.

· 문제 해결 방법을 검토, 논의하게 하여, 풀이 결과 정답, 오답을 확인하게 한다

Ⅳ. 계산기를 활용한 문제 해결을 위한 자료
계산기는 지루한 계산으로부터 학생들을 자유롭게 함으로써 문제 해결에 도움을 주고, 계산 보다는 오히려 문제에 대한 학생들의 주의에 초점을 맞춘다.12) 계산기를 사용하는 학생들은 문제 해결에서 계산기를 사용할 기회를 갖지 않은 학생들보다 더 많은 반응을 하고, 더 많은 흥미를 보이고, 문제 해결에 더 큰 신뢰를 계발한다.13) 따라서, 학생들이 계산기의 사용으로부터 이익을 얻기를 원한다면 계산기를 어떻게 사용하여야 하는 가를 배울 필요가 있다.14)

1. 규칙 찾기
(1) 수를 통한 규칙 찾기
다음과 같은 단계에 따라 활동하고록 지도한다.

단계1 : '계'로 표시된 문제는 계산기로 계산하면서 규칙을 발견한다.

단계2 : 발견한 규칙을 적용하기 위하여 '머리셈'으로 표시된 문제는 머리셈으로 하여라.

단계3 : 머리셈 계산을 계산기로 확인한다.

①[계] : 79 x 1 x 9 = [??????]????????????????[머] : 79 x 4 x 9 = [??????]

???[계] : 79 x 2 x 9 = [??????]????????????????[머] : 79 x 5 x 9 = [??????]

???[계] : 79 x 3 x 9 = [??????]????????????????[머] : 79 x 6 x 9 = [??????]

?????????????????????????????????????????????????????????[머] : 79 x 7 x 9 = [??????]

?????????????????????????????????????????????????????????[머] : 79 x 8 x 9 = [??????]

??????????????????????????????????????????????????????????[머] : 79 x 9 x 9 = [??????]

②[계] : 123 x 77 x 13 = [??????]????????????????[머] : 836 x 77 x 13 = [??????]

???[계] : 476 x 77 x 13 = [??????]????????????????[머] : 555 x 77 x 13 = [??????]

???[계] : 617 x 77 x 13 = [??????] ????????????????[머] : 379 x 77 x 13 = [??????]

?????????????????????????????????????????????????????????????[머] : 333 x 77 x 13 = [??????]

??????????????????????????????????????????????????????????????[머] : 333 x 77 x 13 = [??????]

?????????????????????????????????????????????????????????????? [머] : 158 x 77 x 13 = [??????]

③[계] : 91 x 444 = [??????]????????????????[머] : 91 x 777 = [??????]

[계] : 91 x 666 = [??????] ????????????????[머] : 91 x 888 = [??????]

[계] : 91 x 6666 = [??????] ????????????????[머] : 91 x 8888 = [??????]

[계] : 91 x 7777 = [??????] ????????????????[머] : 91 x 9999 = [??????]

[계] : 91 x 22222 = [??????] ????????????????[머] : 91 x 55555 = [??????]

[계] : 91 x 33333 = [??????] ????????????????[머] : 91 x 66666 = [??????]

(2) 수 규칙을 찾는 게임
게임 규칙1: 계산기로 계산하면서 계산 규칙을 발견한다.

게임 규칙2: 규칙을 발견한 후엔 머리 셈으로 계산한다.

게임 규칙3: 답을 계산기로 구했으면 밑의 빈칸에 '계'로, 머리 셈으로 답을 구했으면 '머'로 표시한다.

게임 규칙4: 머리셈은 계산기로 확인한다.

게임 규칙5: 점수는 '머'의 숫자이다.

①

×
 3
 33
 333
 3333
 33333
 333333
 
9
 
 
 
 
 
 
 
계 또는 머
 
 
 
 
 
 
 

②

×
 3
 33
 333
 3333
 33333
 333333
 
36
 
 
 
 
 
 
 
계 또는 머
 
 
 
 
 
 
 

③

×
 3
 33
 333
 3333
 33333
 333333
 
101
 
 
 
 
 
 
 
계 또는 머
 
 
 
 
 
 
 

④

×
 3
 33
 333
 3333
 33333
 333333
 
37
 
 
 
 
 
 
 
계 또는 머
 
 
 
 
 
 
 

⑤

×
 3
 33
 333
 3333
 33333
 333333
 
91
 
 
 
 
 
 
 
계 또는 머
 
 
 
 
 
 
 

⑥

×
 3
 33
 333
 3333
 33333
 333333
 
1001
 
 
 
 
 
 
 
계 또는 머
 
 
 
 
 
 
 

(3) 연산 규칙을 찾아 계산하는 게임
게임 규칙1: 계산기로 계산하면서 계산 규칙을 발견한다.

게임 규칙2: 규칙을 발견한 후엔 머리 셈으로 계산한다.

게임 규칙3: 답을 계산기로 구했으면 밑의 빈칸에 계'로, 머리 셈으로 답을 구했으면 '머'로 표시한다.

게임 규칙4: 머리셈은 계산기로 확인한다.

게임 규칙5: 점수는 '머'의 숫자이다

① (계, 머) 9×9+7 = [??????]

(계, 머) 98×9+6 =[??????]

(계, 머) 987×9+5 =[??????]

(계, 머)9876×9+4 =[??????]

(계, 머)98765×9+3 = [??????]

② (계, 머) 11×11= [??????]

(계, 머) 111×111= [??????]

(계, 머) 1111×1111= [??????]

(계, 머) 11111×11111= [??????]

(계, 머 ) 111111×111111= [??????]

③ (계, 머) 2÷11 = [??????]

(계, 머) 2÷111= [??????]

(계, 머) 2÷1111 = [??????]

(계, 머) 2÷11111= [??????]

(계, 머) 2÷111111= [??????]

④ (계, 머) 4÷999= [??????]

(계, 머) 7÷9999= [??????]

(계, 머) 36÷99999= [??????]

(계, 머) 85÷9999999 = [??????]

(계, 머) 123÷99999999 = [??????]

2. 규칙을 찾는 전략에 이용되기
문제를 해결하기 위하여 규칙을 찾아 해결하는 전략을 이용하는 문제에 계산기를 이용할 수 있다.

[문제1] 수학 경시 대회에서의 부상이 다음과 같이 1년 동안 받기로 하였다. 부상으로 받은 상금은 모두 얼마인가?

'첫째 날은 1원, 둘째 날은 2원. 셋째 날은 3원,…’

(1) 문제 이해

· 3일째까지의 상금은 얼마인가? ????????????????1+2+3= [??????]

· 4일째까지의 상금은 얼마인가? ???????????????? 1+2+3+4= [??????]

· 5일째까지의 상금은 얼마인가? ????????????????1+2+3+4+5= [??????]

(2) 계획 세우기

· 주목할 규칙은 무엇인가?

1+2+3+4 = 10 = (4×5)÷2

* 4 : 항의 수

* 5 : 첫 항 1과 마지막 항 4의 합 1+4

1+2+3+4+5 = 15 = (5×6)÷2

* 5 : 항의 수

* 6 : 첫 항 1과 마지막 항 5의 합 1+5

(3) 계획대로 실행하기

· 발견한 규칙을 1년(365일) 동안 받을 상금을 계산하는 데 이용한다.

1+2+3+4+5+…+365 = (365×366)÷2 = 133590

(4) 뒤돌아 보기

· 1+2+3+4+5+…+100 = [??????]

· 1+2+3+4+5+…+200 = [??????]

· 1+2+3+4+5+…+300 = [??????]

★ 계산기 활용

·발견한 규칙과 계산기를 이용하여 다음의 합을 구하기

① 3+6+9+12+15+18+21+24+27+30 = ( × ) ÷2= [??????]

② 4114+24+34+44+54+64+74+84+94 = ( × ) ÷2= [??????]

③ 100보다 작은 흘수의 합?

[문제2] 바둑판은 정사각형이 모두 몇 개인가?

(1) 문제 이해

· 바둑판에는 작은 정사각형이 가로에는 몇 줄이 있는가? [??????]

· 바둑판에는 작은 정사각형이 세로에는 몇 줄이 있는가? [??????]

(2) 계획 세우기

· 바둑판 모양의 가장 작은 형태부터 생각해서 각각의 경우에 있는 정사각형을 세어보자.

 ⇒ 1 = 1

(한변이 1칸인 정사각형 1개)

 ⇒ 1+4 = 5

(한 변이 3칸인 정사각형 1개)

(한 변이 2칸인 정사각형 4개)

(한 변이 1칸인 정사각형 9개)

 ⇒ 1+4+9 = 14

(한 변이 3칸인 정사각형 1개)

(한 변이 2칸인 정사각형 4개)

(한 변이 1칸인 정사각형 9개)

 ⇒ 1+4+9+16 = 30

(한 변이 4칸인 정사각형 1개)

(한 변이 2칸인 정사각형 4개)

(한 변이 2칸인 정사각형 9개)

(한 변이 1칸인 정사각형 16개)

· 더해지는 수들은 어떤 규칙이 있는가?

(3) 계획대로 실행하기

·가로와 세로가 각각 8줄인 바둑판에서 정사각형의 수를 구하는 식은? 1+4+9+16+25+36+49+64

★ 계산기 이용

· 계산기를 이용하여 바둑판에 있는 정사각형의 수를 구하여라 1+4+9+16+25+36+49+64+81+100+121+144+169+225+256+289+324+361

=[??????]

(4) 뒤돌아 보기

· 어떠한 크기의 바둑판에 있는 정사각형의 수를 구할 수 있는지 설명하여라.

· 삼각형을 이용하여 비슷한 문제를 만들어라.

3. 추측과 점검하는 전략에 이용되기
문제를 해결하기 위하여 추측하고 점검하는 전략을 이용하는 문제에 계산기를 이용할 수 있다.

[문제1] 자신과 자신을 곱하여 529가 되는 수는 무엇인가?

(1) 문제 이해

· 문제의 뜻대로 식을 써 보면 □×□ = 529

· □ 안에 같은 수를 넣어야 하는가?

(2) 계획 세우기

· 같은 수들을 곱하여 보자.

· 곱이 529인가?

· 만일 곱이 529가 아니면 다른 수를 택하여 시도하여라.

(3) 계획대로 실행하기

★ 계산기 활용

· 먼저 수를 추측하고, 계산기를 이용하여 계산하고, 그 결과를 매번 기록하여라.

· 이와 같은 방법을 답이 발견될 때까지 계속한다

추측????????????????????????점검

15
 
 15×15
 

 
 

 
 

 
 

(4) 뒤돌아 보기

· 다음 추측할 때, 더 좋은 추측을 위하여 먼저 점검한 것을 어떻게 이용할 것인가?

· 추측과 점검 방법을 이용하여 다음 문제를 풀어라

□×□ = 2209

□×□×□ = 704969

□×□×□×□ =1874161

★ 계산기 활용

· 계산기를 이용하여 쉽게 추측을 점검할 수 있는가?

[문제2] 나는 누구일까요?

· 나는 두 자리 수이다

· 나의 숫자들을 합하면 7이다.

· 나의 숫자들을 바뀌면, 만들어진 수는 나보다 18이 작다.

(1) 문제 이해

· 나의 수는 99보다 클 수 있는가?

· 나의 수는 10보다 작을 수 있는가?

(2) 계획 세우기

· 합이 8인 두 수의 쌍들들 모두 나열하여라.

________???________???_______???________

·어떻게 알맞은 수를 발견할 수 있는가?

(3) 계획대로 실행하기

★ 계산기 활용

· 먼저 수를 추측하고, 계산기를 이용하여 계산하고, 그 결과를 매번 기록하여라.

· 이와 같은 방법을 답이 발견될 때까지 계속한다.

순서쌍
 점검
 확인?
 
1, 7
 71- 17 = 54
 아니오: 54 ≠ 18
 
2,_________
 
 
 
3,_________
 
 
 
4,_________
 
 
 

· 알맞은 수는 무엇인가???________

(4) 뒤돌아 보기

· 추측과 점검 방법을 이용하여 다음 수들을 발견하여라.

① 두 자리 수의 숫자들의 합은 11이다. 만일 숫자들을 바꾸면, 만들어지는 수는 원래의 수보다 27이 작다. 원래의 수는?

② 두 자리 수의 숫자들의 합은 5이다. 만일 숫자들을 바꾸면, 만들어지는 수는 원래의 수보다 9가 크다. 원래의 수는?

4. 도표(chart)를 만드는 전략에 이용되기
문제를 해결하기 위하여 도표를 만드는 전략을 이용하는 문제에 계산기를 이용할 수 있다.

[문제1] 나와 직접 관련이 있는 15대 조상은 모두 몇 명인가?

(1) 문제 이해

· 1대 조상은 몇 명인가?

2명 (아버지와 어머니)

· 2대 조상은 몇 명인가?

4명(할아버지와 할머니, 외할아버지와 외할머니)

(2) 계획 세우기

· 답을 구할 수 있는 도표를 만든다

세대수
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
 10
 11
 12
 13
 14
 15
 
조상수
 2
 4
 8
 16
 32
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

(3) 계획대로 실행하기

· 도표를 완성한다

세대수
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
 10
 11
 12
 13
 14
 15
 
조상수
 2
 4
 8
 16
 32
 64
 128
 256
 512
 1024
 2048
 4096
 8192
 16388
 32768
 

★ 계산기 활용

· 조상의 수를 계산기를 이용하여 계산한다.

2+4+8+16+32164+12812561512+1024+2048+4096+8192+16388+32768 = [??????]

(4) 뒤돌아 보기

· 도표의 조상 수를 계산기로 쉽게 계산할 수 있는 규칙이 있는가?

[문제2] 수영장 회원권이 50000원이다. 매 번 수영할 때마다 회원은 2500원이고 비회원은 7500원이라고 한다. 회원이 비 회원보다 좋다고 느낄 수 있는 수영 회수는 몇 번인가?

(1) 문제 이해

· 회원이 수영을 한 번할 때마다 비용은 얼마인가?

· 회원이 수영을 두 번할 때 비용은 얼마인가?

· 비회원이 수영을 한 번할 때마다 비용은 얼마인가?

· 비회원이 수영을 두 번할 때 비용은 얼마인가?

(2) 계획 세우기

· 자료를 체계적으로 나타낼 수 있는 도표를 만든다

수영회원
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
 10
 11
 12
 
회원비용
 52500
 55000
 
 
 
 65000
 
 
 
 
 
 
 
비회원비용
 7500
 15000
 
 
 
 45000
 
 
 
 
 
 
 

(3) 계획대로 실행하기

★ 계산기 활용

· 도표를 계산기를 이용하여 완성한다.

수영회원
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
 10
 11
 12
 
회원비용
 52500
 55000
 57500
 60000
 62500
 65000
 67500
 70000
 72500
 75000
 775000
 80000
 
비회원비용
 7500
 15000
 22500
 30000
 37500
 45000
 52500
 60000
 67500
 75000
 82500
 90000
 

(4) 뒤돌아 보기

· 도표에 있는 정보를 그래프를 이용하여 나타낼 수 있을까?

★ 계산기 활용

· 계산기를 이용하여 더 쉽고 빨리 계산할 수 있는 방법이 있는가?

5. 조직적인 목록(list)를 만드는 전략에 이용되기
문제를 해결하기 위하여 조직적인 목록을 만드는 전략을 이용하는 문제에 계산기를 이용할 수 있다.

[문제1] 2000원을 가지고 있다. 햄버거 집에서 2000원으로 2가지 물건을 살 수 있는 것은 어느 것인가?

메뉴
 
햄버거
핫도그
우유
콜라
아이스크림
 1550원
1370원
350원
480원
650원
 

(1) 문제 이해

· 핫도그와 우유를 산다면 가격은 얼마인가?

· 핫도그와 우유를 산다면 거스름 돈은 얼마인가?

(2) 계획 세우기

· 모든 가능한 경우를 조직적인 목록을 만들어 보아라

· 햄버거와 핫도그 · 햄버거와 콜라

· 햄버거와 우유 · 햄버거와 아이스크림

· 핫도그와 우유 · 핫도그와 콜라

· 핫도그와 아이스크림 · 우유와 콜라

·우유와 아이스크림 · 콜라와 아이스크림

(3) 계획대로 실행하기

★ 계산기 활용

· 계산기를 이용하여 각 목록에 대한 가격을 써 보아라.

· 햄버거와 핫도그 1550 + 1370 = [??????]

· 햄버거와 우유 1550 + 350 = [??????]

· 햄버거와 콜라 1550 + 480 = [??????]

· 햄버거와 아이스크림 1550 + 650 = [??????]

· 핫도그와 우유 1370 + 350 = [??????]

· 핫도그와 콜라 1370 + 480 = [??????]

· 핫도그와 아이스크림 1370 + 650 = [??????]

· 우유와 콜라 350 + 480 = [??????]

· 우유와 아이스크림 350 + 650 = [??????]

· 콜라와 아이스크림 480 + 650 = [??????]

(4) 뒤돌아 보기

· 예측으로 알 수 있는 것은 어느 것인가?

[문제2] 농부가 직사각형 모양의 닭장을 만들려고 한다. 닭장의 둘레는 34m이고, 넓이는 가장 넓게 하려고 한다. 닭장의 가로와 세로는 각각 몇 m로 하면 되겠는가? 단, 가로와 세로의 길이는 자연수로 한다.

(1) 문제 이해

· 직사각형의 가로를 15m, 세로가 6m를 하면 직사각형의 둘레는 몇m인가?

· 이 직사각형의 넓이는 몇 ㎡인가?

(2) 계획 세우기

· 둘레가 34m인 모든 직사각형을 생각해서 조직적인 목록을 만들어라

가로
 세로
 둘레
 넓이
 
1
 
 
 
 
2
 
 
 
 
3
 
 
 
 
4
 
 
 
 
5
 12
 (5+12)×2 = 23
 5×12 = 60
 
6
 
 
 
 
7
 
 
 
 
8
 
 
 
 
9
 
 
 
 
10
 
 
 
 
11
 
 
 
 

(3) 계획대로 실행하기

★ 계산기 활용

· 계산기를 이용하여 각 목록에 대한 계산을 하여라.

가로
 세로
 둘레
 넓이
 
1
 16
 (1+16)×2 = 34
 1×16 = 16
 
2
 15
 (2+15)×2 = 34
 2×15 = 30
 
3
 14
 (3+14)×2 = 34
 3×14 = 42
 
4
 13
 (4+13)×2 = 34
 4×13 = 52
 
5
 12
 (5+12)×2 = 34
 5×12 = 60
 
6
 11
 (6+11)×2 = 34
 6×11 =66
 
7
 10
 (7+10)×2 = 34
 7×10 = 70
 
8
 9
 (8+9)×2 = 34
 8×9 = 72
 
9
 8
 (9+8)×2 = 34
 9×8 = 72
 
10
 7
 (10+7)×2 = 34
 10×7 =70
 
11
 6
 (11+6)×2 = 34
 11×6 =66
 

· 가장 넓게 만들 수 있는 넓이는 얼마인가?

· 넓이를 가장 넓게 만들 때, 가로와 세로의 길이는 각각 얼마인가?

· 가로의 길이를 11m보다 큰 경우를 생각하지 않는 이유는 무엇인가?

(4) 뒤돌아 보기

· 넓이가 가장 넓으면서 둘레가 60m인 직사각형 모양의 닭장을 만들려고 한다 유의해야 하는 것은 무엇인가?

6.게임과 퍼즐을 즐길 수 있다.

게임과 퍼즐 문제에 계산기를 이용할 수 있다

[문제1] 계산기를 이용하여 다음 □ 안에 알맞은 수를 넣으라.

(1) 93 × 8□ = 7□□8

(2) 83□ × □9 = 41013

(3) □□6 × 84□ = 232668

(4) 3□□4 ÷ 8□ =48

(5) 2688 ÷ 8□ = □2

(6) 23 × 3□ × □7 = 13293

(7) □□□5 ÷ 6□ = 43

(8) 18 × (□□4 + 29□) = 10116

(9) (□3 × 3□ ×l□) ÷ 57 = 1147

(10) [(47 × 68) + □□6] ÷ 2□ = 143

[문제2] 계산기를 이용하여 다음게임을 하여라 네가 언제나 승자가 되는 방법은 무엇인가? 규칙

· 첫 경기자가 계산기에 1, 2, 3 중에서 한 수를 택하여 계산기에 넣는다.

· 경기자들은 교대로 1, 2, 3 중에서 한 수를 택하여 계산기에 합한다.

· 계산기에 합이 21이 나오도록 합한 경기자가 승자가 된다.

몇 번 게임을 한 후에 다음 질문들에 답하여라.

(1) 만일 네가 합한 것이 17이라면, 다음 네 차례에 네가 승자가 될 수 있다고 어떻게 알 수 있는가?

________________________________________________________________________________________

(2) 만일 네가 합한 것이 13이라면, 다음 네 차례에 네가 17로 합할 수 있고, 그래서 승자가 될 수 있다고 어떻게 알 수 있는가?

________________________________________________________________________________________

(3) 21을 '목표의 수'라고 할 때, 17이나 13을 '중간 목표의 수'라고 하자. 너의 다음 차례에 합이 13이 되기 위하여, 네가 원하는 '중간 목표의 수'들은 무엇인가?

________________________________________________________________________________________

(4) 합으로 9가 되도록 하기 위한 '중간 목표의 수'는 무엇인가?

________________________________________________________________________________________

(5) 가장 큰 수로 시작하여, 순서대로 '중간 목표의 수'들을 모두 나열하여라.

________________________________________________________________________________________

너는 '중간 목표의 수'들을 어떻게 발견하였는가?

________________________________________________________________________________________

(6) 만일 네가 첫 경기자라면, 어떻게 하면 네가 언제나 승리자가 되는 가를 설명하여라.

________________________________________________________________________________________

(7) 50을 '목표의 수'라 하고 더해지는 수들을 1, 2, 3, 4, 5 중의 하나라고 가정하자. 네가 언제나 승자가 되기 위하여 사용하는 전략은 무엇인가?

________________________________________________________________________________________

(8) 다른 유사한 게임을 만들고 네가 언제나 승자가 되기 위하여 이용하는 전략을 설명하여라.

________________________________________________________________________________________

Ⅴ. 결론
계산기를 초등학교 수학 교육에 적용하여야 한다는 이론적인 배경은 충분하다. 그러나, 현실적인 면에서 우기 나라는 교육의 관심이 마치 대학 입학인 것처럼 인지되고 있는 풍토에서는 교육의 과정보다 결과를 중시하는 경향이기 때문에, 초등학교 수학 교육에 계산기를 적용했을 때는 부작용이 상당히 크리라 생각된다.

그럼에도 불구하고, 계산기는 수학을 학습하기 위한 귀중한 도구임에 틀림없다. 계산기는 단지 계산뿐만이 아니라 아이들로 하여금 다양한 아이디어들을 계발하게 하고, 규칙을 탐구하게 하고, 귀중한 개념을 발전시키는 경험을 갖게 할뿐만이 아니라 실제적인 응용 문제들을 조사하게 한다. 계산기는 수학을 거부하는 학생들에게 수학은 재미있고 흥미있다고 생각을 바꾸게 할 수 있는 도구도 된다.

이렇기 때문에 새롭게 개편되는 제 7차 교육과정에서는 초등 학교 수학에서 계산기의 사용 여부를 보다 긍정적으로 결정하여야 한다. 이런 관점에서 본 논문에서는 문제 해결과 관련되는 부분만을 택하여 하나의 자료를 개발하였다.

 

 

--------------------------------------------------------------------------------

참고문헌
Reys 외12, Calculators in the Classroom: How Can We Make It Happen?, Arithmatic Teacher 34(1987.2) pp12-14
Hembree, Ray, Dessart, Research on Calculators in Mathematics Education, In Calculators in Mathematics Education, pp23-32
Szetela, Walter, Super: Calculators and Instruction in Problem Solving in Grade 7: Journal for Research in Mathematics Education 18: pp215-229
Hopkins: The Use of Calculators in the Assessment: In Calculators in Mathematics Education :1992: pp 158-166
Reys, Reys; Calculators in the Classroom: How Can We Make It Happen? Arithmatic Teacher 34 pp12-14
Duea 외4, Problem Solving Using the Calculator: In Problem Solving In School Mathematics: p117-126

--------------------------------------------------------------------------------

각 주
1 New Directions In Elementary School Mathematics, EMMA I HOLMES, 1995, MERRILL PRENTICE HALL
2 Reys 외12, Calculators in the Classroom: How Can We Make It Happen?. Arithmatic Teacher 34(1987.2) pp12-14
3 Hembree and Dessart, The Impact of Computing Technology on School Mathematics: Report of an NCTM Conference.
4 Hombres and Dessart, 1992
5 Hembree, Ray. Dessart, Research on Calculators in Mathematics Education. In Calculators in Mathematics Education, pp23-32
6 Szetela, Walter, Super Calculators and Instruction in Problem Solving in Grade 7: Journal for Research in Mathematics Education 18, pp215-229
7 Hombres, Ray. Dessart, Research on Calculators in Mathematics Education, In Calculators in Mathematics Education, pp23-32
8 Hopkins: The Use of Calculators in the Assessment, In Calculators in Mathematics Education:1992; pp 158-166
9 wWilliams; Using Calculators in Assessing Mathematics Achievement: Arithmatic Teacher 35 pp 21-23
10 Reys. Reys: Calculators in the Classroom How Can We Make It Happen? Arithmatic Teacher 34 pp12-14
11 Berlin, White, An Instructional Model for Integrating the Calculators; Arithmatic Teacher 34(1987.2) pp 52-54
12 Duea 외4, Problem Solving Using the Calculator: In Problem Solving In School Mathematics: p117-126
13 Hombres, Ray, Dessart, Research on Calculators in Mathematics Education, In Calculators in Mathematics Education, pp23-32
14 Payne. Jseph N, The Effects of Calculators on State Odjectives and Tests: In Calculators in Mathematics Education; 1992:pp177-155

--------------------------------------------------------------------------------

이력사항

배종수
(Bae, Jong-Soo)
서울교육대학교 수학교육과 교수