[=] Mathematica 모델링

목 차

Ⅰ. 서론
Ⅱ. 수학교육에서의 컴퓨터의 활용
Ⅲ. Mathematica를 이용한 모델링
1. 소리와 음악을 통한 함수지도를 위한 모델링
1) 삼각함수의 그래프
2) 소리
3) 음악
2. 일차변환의 지도를 위한 모델링
3. 파선의 시각화를 위한 모델링
Ⅳ. 결론 및 제언
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발행자명 인제대학교 
학술지명 인제논총 
ISSN  
권 19 
호 1 
출판일 2004.  

 

 

 

Mathematica 모델링

Mathematica Modeling

김향숙
(Hyang Sook Kim )
김영미
(Kim, Young-Mi )
4-127-0401-24

국문요약
수학을 비롯한 교육 전반에서 컴퓨터의 활용 및 응용의 중요성은 현실사회의 산업구조가 현대화되고 확대되어 다양한 정보가 매우 중요한 시대가 되어가면서 더욱 두드러지게 된다. 특히, 컴퓨터 매체는 수학 내용을 변화시켰으며, 학교 교육과 실생활과의 관계를 변화시켰다. 실제로, 거의 모든 학교에서 컴퓨터 매체의 영향을 깊이 받지 않은 교육적 측면을 찾기란 쉽지 않을 것이다. 다양한 지적능력과 학습태도를 가지고 있는 학생들에게 가장 적합한 학습과정을 선택해 줌으로써, 학생 개개인에게 알맞은 학습목표를 달성할 수 있도록 도와줄 수 있는 교육공학의 매체로서 컴퓨터를 이용하는 것도 좋은 교육 방법 중에 하나일 것이다. 본 논문은 이러한 관점에서 지필환경에서 보여줄 수 밖에 없었던 수학교육의 한계성을 탈피하여 컴퓨터를 활용함으로써 탐구와 관찰이라는 실험적인 조작 활동을 통해 수학교육에 새로운 활력을 불어 놓고자 하는 데 그 목적을 둔다. 제 7차 교육과정에서 중요시 여기는 CAI(컴퓨터보조 학습)중에서 본 고에서는 특히, 'Mathematica'를 이용하여 초월함수의 개념을 시각적, 청각적으로 접근하는 새로운 방법과 파선의 여러 가지 모양을 관찰하는 방법을 소개하고 있다.

영문요약
In recent years, the computer has become the one of the most popular tool of a complex of social changes, widely viewed as constituting a second industrial revolution from which information society is coming. The world we live in is called the age of information. Thus communication and computers are doing the central role in it. When one studies the mathematical problem the use of tools such as computers, calculators and technology is available for all students, and then students are actively engaged in reasoning, communicating, problem solving, and making connections with mathematics, between mathematics and other subjects.

Thus mathematical content is considered crucially important, and it is assumed that a certain computing expertise will be part of that content[Bishop,1993].

In this paper, we explain the concepts of trigonomeric funtions and illustrate various examples of parametric cycloids. Also, We illustrate the relationship between sound and trigonometric function by using Mathematica. Development of these kinds of teaching and learning models can stimulate the students curiosity about Mathematics and increase their interest.

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Ⅰ. 서론
제7차 수학과교육과정에는 개인차와 진로를 고려한 단계형, 심화 보충형, 과목선택형의 탐구형 학습문제 및 컴퓨터교육 강화가 실제로 반영이 되어, 학습과 교수 및 평가에서 현재와는 다른 모습으로 현장교육이 이루어질 것이라 생각한다. Technology를 수학교과에 실제로 어떻게 적용하며, 어떤 내용에 사용할 것이며, 탐구형 방식의 수업결과를 어떻게 적절히 평가할 것인가에 대한 문제는 앞으로의 해결 과제일 것이다. 역동적인 수학 학습은 수학적 그래픽의 연출이 효과적이므로, 프로그램 작성의 전 단계로서 소프트웨어의 활용은 유익하며, 특수한 소프트웨어로 수학 학습을 진행하는 시기가 도래할 것을 예측하고 있다(한재영 외 3인, 1999).

수학이 다른 학문과 구별되는 뚜렷한 성질중의 하나는 연역적 체계를 가지고 있다는 점이다. 수학은 양면성이 있어서 하나의 수학적 사실을 발견하고 창조하기까지 과정은 귀납이고, 일단 발견된 사실을 증명하는 과정은 연역이다. 그러나 지필 환경에서 귀납적 활동을 기대하기에는 많은 한계가 있다. 현재의 수학교육은 연역적 증명에 강조를 두고 있는 측면이 많으나 수학적 기본개념이나 원리가 학생들에게 의미를 갖도록 하는 것이 중요하므로 이를 위해서는 연역 이전에 학생들이 지식을 귀납적으로 탐구하는 과정이 필요하다. 능동적이며 자기 의미를 구성하는 귀납형태의 학습이 가능하게 하는 수업방식의 도입이 앞당겨 질 수 있는 대안으로 Technology의 활용이 기대된다. 컴퓨터를 중심으로 하는 Technology를 활용한 수업활동은 학생들의 수업참여를 극대화 시키고, 적절한 학습수준을 제시할 수 있으며, 새로운 수업 방법을 도입함으로써 학생들에게 수학에 대한 관심과 태도를 증진시켜 줄 것이다(구광조 외 2인, 1992). Simons(1993)에 의하면, 수학이 컴퓨터를 만들고 향상시킬 때, 컴퓨터는 수학의 힘을 만들고 향상시킨다. 컴퓨터로 인하여 수학활동에서 실험하고 추측하고 증명하고 모의 실험하는 활동이 용이해졌으므로, 컴퓨터와 Technology를 수학교육에 적극 반영하고자 노력해야 할 것이다. NCTM에서도 계산기능, 문제해결, 공학의 사용 등에 컴퓨터와 계산기의 활용을 권장하고 있다. 류희찬 외 1인(1998)은 컴퓨터에 관한 지식과 기능의 습득은 정보화 시대에 능동적으로 대처하는 방법이므로 학생들에게 컴퓨터를 가르치는 일은 중요하다고 강조하면서 수학교육에 컴퓨터가 사용될 수 있는 기능을 다음과 같이 제시하고 있다.

a) 그래픽과 애니메이션 b) 시뮬레이션 c) 계산속도와 계산능력 d) 오류 수정

컴퓨터가 가지는 다양한 기능의 활용은 추상적인 수학내용을 시각화하여 지도할 수 있을 뿐만 아니라 그 시각화가 학생들의 직접적인 경험이나 통제를 통해 이루어 질 수 있다는 점에서 현재의 교수 · 학습 방법에 대한 발전 지향적인 대안이 될 것이다. 이러한 여건에 비추어 볼 때, 소프트웨어를 활용한 수학 학습 모형의 개발은 수학의 역동성, 보편성, 실용성 및 사회성에 기여하는 중요한 매체이다. 따라서 본 논문의 내용과 같은 Technology나 Software를 활용한 교수 · 학습자료의 개발은 수학교육의 발전에 기여하는 점이 있을 것으로 기대된다. 컴퓨터 관련산업의 급속한 발달은 수학교육의 내용과 방법에 변화를 주고 또 변화를 요구하고 있다. 고성능 컴퓨터가 현대사회의 모든 분야에 보급됨에 따라 폭넓은 수학적 지식이 필수적으로 요구되며 학교 수학에서 강조해야 할 내용도 변화해야 되는 필요성이 제기되고 있다. 과거에는 수학적 지식이 사회의 소수 엘리트와 학자들만의 것으로 생각되었지만, 과학과 산업이 고도로 발달한 컴퓨터 정보화 시대에는 더 많은 수학적 지식을 갖춘 인력을 거의 모든 분야에서 필요로 하게 되었다. 발달된 컴퓨터 소프트웨어는 학습 방법에 편리한 보조 수단을 제공하여 다양한 교수 방법이 가능하게 되었다. 예전에는 설명이나 관찰이 어렵거나 불가능했던 것이 이제는 간단히 컴퓨터 모니터에서 살펴볼 수 있으며 복잡하여 많은 시간이 걸릴 계산을 순식간에 해낼 수도 있다. 이러한 상황은 교수 방법에 변화를 불러오게 되었고 이 변화를 지지해줄 많은 연구가 이루어지고 있다. 본 논문에서는 평면 변환기하의 모형을 Mathematica를 이용하여 만들고, 또 Mathematica의 그래픽기능을 충분히 활용하여 교육적 효과를 높일 수 있는 자료들을 제시하고자 한다. 수학용 Software 중에서 Mathematics를 이용한 교수 · 학습자료의 개발은 학습자의 흥미와 교사들의 새로운 수업진행을 위한 하나의 예시가 될 것이며, 나아가 수학 교육의 새로운 패러다임에 의미 있는 자료를 제공할 것이다.

Ⅱ. 수학교육에서의 컴퓨터의 활용
Freudenthal(1981)은 수학교육 방법론의 측면에서 컴퓨터의 활용을 강조하였는바 "수학적 이해를 유발하고 증진시키기 위해 계산기와 컴퓨터를 어떻게 이용할 것인가? "라는 문제를 수학교육의 주요 문제 중의 하나로 설정하였다. 아울러 그는 교육공학이나 기술 교육의 측면에서 컴퓨터를 고려하는 것은 수학교육에서 그리 중요한 문제가 아니며, 수학적 이해를 유발하고 증진 시키기 위한 강력한 도구로서 컴퓨터를 이용할 것을 주장하였다. 컴퓨터는 다양한 모델과 시뮬레이션을 통해 학생들의 광범한 경험과 형식적인 수학을 연결한다. 이는 학생의 개인적 경험과 수학적 경험을 연결하는 새로운 수준의 친밀함을 형성함으로써 학생들이 일상적인 경험과 형식적인 수학의 세계를 의미 있게 연결하는데 도움을 준다. 또한 컴퓨터는 보다 이상적이고 개략적이고 추상적인 시뮬레디션을 제공하는바, 학생들은 하나 이상의 세계를 통제하는 동일한 모델을 직접적으로 경험할 수 있으며, 중간적인 추상성을 가진 모델들을 컴퓨터를 통해 경험할 수 있다. 한편, 컴퓨터 기반 환경에서 학습자와 컴퓨터의 상호작용은 입력에 대한 상징적 해석과 컴퓨터 조작에 바탕을 두고 있으며, 컴퓨터 기반 환경에서의 피득백은 해석 가능한 하나의 수학적 현상으로서 적절한 기록으로 제공된다(Balacheff,1996). 컴퓨터 기반 학습 환경은 수학의 다양한 표현을 같은 화면에 제공하는바,

이는 학생들로 하여금 다양한 표현을 서로 연결짓게 함으로써 그 표현에 내재되어 있는 의미를 보다 충실하게 이해 할 수 있도록 한다. 또한 컴퓨터 프로그래밍에서의 오류 수정활동은 수학적 사고력 향상을 위한 기회로 활용될 수 있다. 오류는 예상하지 못한 곳에서 일어나고 그 오류를 제거하기 위해 반드시 프로그램에 수정을 가해야 하는바, 이는 학생 자신의 수학적 사고와 그것을 절차적 형태의 프로그램으로 변환하는 과정을 다시 한번 반성하는 기회를 제공한다. 이는 자신의 사고와 행동을 다시 한번 반성해 봄으로써 더 높은 수준으로의 발달을 모색하는 반영적 추상화 활동에 기여한다고 할 수 있다(신동선, 류희찬, 1998). 예를 들면, 적분의 개념이나 회전체의 부피의 지도에 있어서 Mathematica를 이용한다면 구분구적법을 가르치면서 구간의 크기를 늘려갈 때 사각형의 넓이의 합이 실제의 정적분하고 얼마나 근사한지를 시각적으로 제시하거나, 두 개의 그래프를 회전하여 생기는 회전체의 실제 모습 및 단면의 모습을 구체적인 예를 들어 학생들에게 확인시켜 준다면, 그들로 하여금 구분구적법 및 복잡한 도형의 회전체의 실체를 느낄 수 있도록 할 것이다. 특히 매개변수로 표현되는 도형을 시각화 시키는 본 논문과 같은 교수-학습 자료의 제시 및 창작활동은 귀납적으로 더욱 많은 수학적 아이디어를 만들어낼 수 있게 한다. 컴퓨터를 사 용하여 수학수업활동에 이러한 예시들을 제시하는 것은 지필 환경 속에서 찾아볼 수 없었던 새로운 사실들을 발견해 나가는 자기 주도적인 수업을 가능하게 할 것이다. 수학과 컴퓨터는 서로 상호 작용을 하며 발전을 기해야 한다. 단순히 컴퓨터의 조작에만 능숙한 것이 아닌 수학적 개념을 가진 상태에서 컴퓨터를 발전시키고 이를 수학교육에 활용할 수 있어야 한다. 교사는 컴퓨터가 만능이 아니라는 사실을 염두에 두고 컴퓨터를 도입한 수업에서 흔히 나타나는 일시적인 학습자의 반응을 냉철히 분석, 판단하여야 하며, 가장 최대의 효과를 얻을 수 있는 내용과 수학 교육 방법 적용에 대해 부단한 노력과 연구를 해야 할 것이다.

Ⅲ. Mathematica를 이용한 모델링
Mathematica는 중 · 고등학교의 모든 문제를 다양한 방법으로 해결할 수 있는 기능을 가지고 있다. 근을 구하고, 인수분해를 하며, 식을 전개하며, 극한값을 제시하여 준다. 이러한 기능은 자칫 학습자의 학습의욕을 떨어뜨리는 사례가 될 수 있지만, 교과서에 나오는 즉 정답이 주어진 제한된 문제를 벗어나 다양한 형태의 문제를 접하면서 그 결과를 확인하여 볼 수 있다면 학습자의 수학적 아이디어를 창출해 내는데 도움이 될 수 있다. 이러한 계산기능 π, e와 같은 값들의 실제에 가까운 값들을 확인할 수 있고, 어려운 적분의 계산이나 미분, 그리고 극한값까지 확인하여 볼 수 있다. 이러한 기능은 그래프와 병행하여 더욱 확실한 개념을 익힐 수 있는 정보의 제공이 될 것이다. Mathematica는 일반적인 형태의 함수에서부터 매개변수 함수에 이르기까지, 그리고 이차원의 그래프뿐만 아니라 삼차원(실제로 확인시켜주기가 매우 힘든)의 그래프를 직접 그려줌으로써 수학을 이해하고 많은 수학적 사고를 할 수 있도록 도와주는 역할을 할 수 있다. 뿐만 아니라 고등학교 교육과정에서 언급하고 있는 일차변환에 관한 여러 가지 도형의 변화되는 모습을 보여주고 이를 확장하여 3차원 세계에서 보여지는 일차변환의 모습도 확인 할 수 있다. 이러한 차원 및 3차원 에서의 변환하는 모습을 실제로 학습자들이 눈으로 확인함으로써 더 많은 개념들을 명확하게 받아들이고 새로운 개념의 정립을 이룰 수 있을 것이다.

1. 소리와 음악을 통한 함수지도를 위한 모델링
소리와 음악을 초월함수를 가르치기 위한 수단으로 이용하고자 한다. 추상적인 수학개념들을 좀 더 쉽게 가르칠 수 있는 다양한 교수 학습 방법을 고안하는 것이 컴퓨터를 이용한 수학이 나아갈 길이다.

1) 삼각함수의 그래프
먼저, 삼각함수의 모양을 살펴보자. 사인함수, 코사인함수, 탄젠트함수가 소리와 어떤 관계가 있는지 생각하며 그래프의 모양, 주기성, 진동수, 진폭에 대해 알아보자.

① 사인 곡선

· 각의 변화에 따른 sine함수의 그래프를 그려보자.

· 사인곡선이 그려지는 과정을 애니메이션을 통해 보여준다.

SinPlot [3π/ 4] ;

  각이 135°일 때까지의 sinθ의 그림

· 사인곡선은 주기가 2π인 주기 함수임을 보인다.

· 사인곡선과 코사인곡선을 동시에 그려서 보여준다.

· 코사인곡선은 사인곡선의 평행이동이며, 따라서 역시 주기가 2π인 주기 함수임을 안다.

② 탄젠트 곡선

Do[Sinplot[θ], {θ, (π /180) *5, 2 π, (π/180) * 5}];

  각이 30˚일 때까지의 sinθ의 그림

 

  각이 55˚일 때까지의 sinθ의 그림

 

  각이 145˚일 때까지의 sinθ의 그림

 

  각이 305˚일 때까지의 sineθ의 그림

· 각의 변화에 따른 tangent함수의 그래프를 그려보자.

· 탄젠트곡선이 그려지는 과정을 애니메이션을 통해 보여준다.

· do[TanPlot[θ],{θ,(π/180)*15, 2π, N[(π/180)*15]}]

· 탄젠트곡선은 주기가 π인 함수임을 보인다.

o sine함수와 소리사이의 관계를 이해하기 위해서 소리의 진폭과 진동수에 관련된 두 함수를 그려보자. 즉, 임의의 실수 a, b에 대하여 asin(x)와 sin(bx)를 그려 보자.

· a의 변화에 따른 asin(x)의 그래프, 즉 진폭이 변할 때 sin(x)의 변화를 살펴보자.

  y=3sin x from y=-3 to y=3

· b의 변화에 따른 sin(bx)의 그래프, 즉 진동수가 변할 때 sin(x)의 변화를 살펴보자.

  Frequence ef y=sin7x is 7

 

o 소리는 공기의 진동으로 생기는 현상이므로, 삼각함수들이 소리를 내는지에 대해 생각해보기로 하자.

2) 소리
o 위의 삼각함수들은 소리를 낼까요? 소리를 낸다면 그 소리는 어떤 변수들과 상관이 있을까요? 사인함수, 코사인함수 그리고 탄젠트 함수는 같은 소리를 낼까요? 음악에 관한 피타고라스 법칙을 들어 보셨나요? 지금부터 소리에 대해 살펴봅시다.

· 진폭과 진동수는 소리와 어떤 관계가 있는지 살펴보자.

o 진동수는 소리의크기, 소리의 음질, 소리의 높고 낮음 중 무엇과 상관이 있을까요?

· 진동수가 작으면 소리가 들리지 않는다.

Play[Sin[8x], {x,0,1} ];

· 청각가능한 소리의 진동수는 동물에 따라 다르다. 사람이 청각가능한 소리는 220Hz∼40000Hz로 알려져 있다.

Play[Sin[400x], {x,0,1}];

Play[sin[800x], {x,0,1};

];

· 위의 두 함수를 그래프로 확인하여 진동수가 다름을 확인해 보자.

 

· 진동수가 다른 두 sine함수의 소리를 비교해 보자. 각 각 들어보자.

Play[Sin[700x ],{x,0,1}];

Play[Sin[1400x ] ,{x,0,1}];

· 시간간격을 두고 들어보면 확실히 소리의 높이가 다름을 알 수 있다.

Play[Which[0<x<1,Sin[700x] , 1<x<2,Sin[1400(x-1) ]], {x,0,2}];

· 진동수는 소리의 높고 낮음을 결정짓는다. 즉, 진동수가 클수록 높은 소리가 나게된다. 피타고라스는 "하프의 현의 길이가 짧을수록 진동수는 커지고, 현의 진동수가 클수록 높은 음이 난다"는 사실을 발견했다. 이것이 음악에서의 피타고라스 법칙이다.

o 소리의 음질은 wave의 모양과 관계가 있다. wave의 모양이 부드러울수록 음질이 좋아지지만, 모양이 부드럽지 못하게 되면 될수록 소음(noise)에 가까운 소리를 낸다는 것을 알 수 있다. 즉, 모양이 예쁜 곡선은 소리도 아름답다는 것을 확인해 보자.

· 삼각함수(sine, cosine, tangent) 각각의 소리를 비교하여 들어보자.

· 평행이동을 하면 겹치게 되는 sine, cosine함수는 모양이 같지만, tangent 함수의 두 함수와 모양이 다르다. 이러한 사실을 소리의 음질을 통하여 확인해보자.

Play[Sin[1500x],{x,0,1}];

· Cos[1500x]는 Sin[1500x]와 같은 소리를 낸다.

Play[Cos[1500x], {x,0,1}];

· 시간간격을 두고 들어보면 확실히 소리가 같음을 알 수 있다.

Play[Which[0<x<1,Sin[1500x] , 1<x<2,Cos[1500(x-1) ]], {x,0,2}];

· sine함수를 이용한 다른 소리를 들어보자.

Play[Sin[20 t] Sin[23 t] Sin[2000 t], {t, 0, 2.05}];

· Tan[1500x]은 잡음을 낸다.

Play[Tan[1500x],[x,0,1}];

· Sec[1500x]은 잡음을 낸다.

Play[Sec[ 1500x], [x,0,1}];

· tangent곡선과 secant곡선을 동시에 그려서 보여준다.

o sine, cosine함수가 아름다운 소리를 낸다는 사실을 음계를 들어서 확인해 보자.

· sine 함수를 사용한 도, 미, 솔의 소리를 들어보자. 피아노 건반과 그 진동수는 2장 이론적 배경에서 이미 설명하였다.

도 레 미 파 솔 라 시 도2 : 음계

 :진동수

· 피타고라스 12음계는 위 7음계에다 검은 건반까지 넣은 12음계를 말하며, 각 음계간 진동수를 12√2 정하였다. 즉 진동수는 초항이 1이고 공비가 12√2인 등비수열을 이룬다.

· cosine 함수를 사용한 도, 미, 솔의 소리를 들어보자.

 

· tangent 함수를 사용한 도, 미, 솔의 소리를 들어보자.

o 삼각함수들의 합성함수의 소리는 어떨까?

· 먼저, 함수를 입력받아 그 함수를 n번 합성한 후의 그래프를 확인해 보자.

· sin(400 x)을 1000번 합성한 함수와 sin(400 x)의 소리를 비교해 보자.

 

{x,0,2}];

o 위의 두 소리로부터 소리는 진폭과 어떤 관계가 있는지에 대한 의문을 가져보고, 그것을 다음으로 확인해 보자.

· 진폭이 다른 두 sine함수의 소리를 들어보자.

· 따로따로 들으면 그 차이를 잘 알 수 없다.

 

· 시간간격을 두고 들어보면 확실히 소리의 세기가 다름을 알 수 있다.

 

· 진폭이 다른 두 함수를 그래프를 이용하여 확인해 보자.

 

o 삼각함수들에서 진동수, 진폭, 그래프의 모양이 각 각 소리의 높고 낮음, 소리의 세기, 음질을 결정함을 알았다. 위의 사실을 바탕으로 지금부터는 지수함수와 로그함수의 그래프의 모양을 소리를 이용하여 확인해 보고, 나아가 두 역함수의 역함수관계를 밑의 변화에 따른 애니메이션으로 확인해 보고자 한다.

o 음악과 수학은 오래 전부터 공동역사를 가져왔으며, 수학의 많은 이론들이 음악에 적용되어 음악의 발전에 기여를 해왔으나, 대부분의 수학자들은 음악이 수학이라는 사실에 생소해한다. 즉 지금까지는 수학의 실용성에 대해 수학자들 자신은 자신들의 영역이 아니라고 생각해 온 것이 사실이다. 그러나 요즈음은 수학이 수학 그 자체로만 존재하기보다는 실용성이 더해 질 때 현장교육에서 더 설득력이 있음을 많은 사람들이 실감하고 있는 현실이므로, 수학교실을 떠나는 학생들에게 수학의 실용성, 동기유발 및 수학의 아름다움을 주기 위해 학생들이 가장 어려워하는 초월함수, 즉 삼각함수, 지수함수, 로그함수를 음악을 통해 지도하고자 한다.

· 소리를 통해 먼저, 지수함수와 로그함수의 그래프의 모양을 추측하게 한다.

· 지수함수와 로그함수를 사용한 "도"와 사용하지 않은 "도"의 소리를 비교해 보자.

· 먼저 지수함수를 사용한 "도"와 사용하지 않은 "도"의 소리를 비교해 보자.

· 도의 소리를 들어보자.

Play[Sin[1000x20/12]∧2, {x, 0, 1}];

분모를 exp(x) (0≤x≤1) 로 나눈 도의 소리

 

지수함수를 사용한 "도"와 사용하지 않은 "도"의 소리를 비교해 볼 때, 지수함수를 분모로 나누면 소리가 커짐을 알 수 있다. 즉 x의 변할 때 exp(x) (0.x ≤1)는 함수값이 커지는 함수임을 알 수 있다. 따라서, 함수 exp(x)로써 주어진 sine 함수를 나누면 소리가 작아지는 효과음을 만들 수 있다. 그러므로 함수 exp(x)로써 주어진 sine 함수를 나눈 소리는 피아노 건반을 두드리고 손을 떼면 그 여운이 남는 듯한 음을 만든다.

· 위 사실을 exp(x) (0 ≤ X ≤ 1) 의 그래프로 확인해 보자.

Plot[cx, {x, 0, 1}, PlotStyle → {Hue [0.55], Thickness[0.009]}, ImageSize → 500];

· 시간을 더 늘려, 분모를 exp(x) (O ≤ x ≤3) 로 나눈 도의 소리를 들어보자.

 

시간을 늘리면 함수 exp(x)로써 주어진 sine 함수를 나눈 소리는 피아노 건반을 두드리고 손을 떼면 그 여운이 남는 듯한 더 확실한 효과음을 낸다는 것을 확인할 수 있다.

다음으로 지수함수의 역함수인 로그함수를 사용한 "도"와 사용하지 않은 "도"의 소리를 비교해 보자.

정의역을 [0,2]로 하는 Leg(x)로 나눈 도의 소리를 들어보자.

 

정의역을 [0,2]로 하는 │Log(x)│로 나눈 도의 소리를 들어보자.

로그함수를 사용한 "도"와 사용하지 않은 "도"의 소리를 비교해 볼 때, x(0<x ≤ 1)가 변할 때 log(x) (0<x≤1)는 함수값의 절대값이 작아지는 음의 함수값을 가지는 함수임을 알 수 있다. 따라서 함수 log(x) (0<x ≤1)로써 주어진 sine 함수를 나누면 소리가 커지는 효과음을 만들 수 있다.

· 로그함수 log(x) (1<x ≤3)는 함수값의 절대값이 커지는 함수임을 알 수 있다. 따라서 함수 log(x) (1<x ≤3)로써 주어진 sine 함수를 나눈 소리는 피아노 건반을 두드리고 손을 떼면 그 여운이 남는 듯한 효과음을 낸다는 것을 확인할 수 있다. 이는 앞에서 확인한 지수함수의 효과음과 비슷함을 알 수 있다.

Log(x) (0 ≤ x ≤ 3)의 그래프를 확인한다.

Exp 함수의 소리는 어떨까?

Play [50000 Exp[100x] ,{x,0,1}];

· Log 함수의 소리는 어떨까?

Play [50005Log[100x] ,{x,0,1}];

o 위에서 살펴본 지수함수와 로그함수의 그래프로 부터 두 함수는 y=x에 대해 대칭임을 알 게 하고 역함수의 관계를 설명하면서, 위의 두 함수는 밑이 e인 로그함수 log ex와 지수함 수 ex임을 이야기하고, 밑의 a가 변할 때의 지수함수 ax와 로그함수 log ax의 관계를 예상해 볼 수 있도록 유도한다. 지금부터 밑이 a인 지수함수 ax와 로그함수 log ax의 위치 관계에 대해 알아보자.

  밑의 값 a=2.71828

o 지수함수와 로그함수 사이의 위치관계를 나타내 보는 프로그램을 작성한다.

· ex와 log ex의 역함수 관계를 확인해 보자.

3) 음악
o 초월함수를 이용하여, 학생들이 알고 있는 곡을 작곡해서 들어보게 함으로써, 수학에 대한 호기심과 실용성을 느끼게 한다. 송아지를 작곡해서 들어보자.

· 우리에게 아주 친숙한 동요 "송아지"를 들어보자. 메스메티카를 사용하여 sine 함수를 가지고 음악을 작곡하였다. 특히 음악의 크기와 소리의 부드러움을 위해서 상수 12와 지수함수를 사용하였다.

o 요즈음 학생들은 잘 때도 공부할 때도 음악을 듣는 경우가 많은 것 같다. 그들이 좋아하는 음악이 수 많은 좌표들로 이루어진 수학적 데이터라는 사실을 확인해 보게 함으로써 음악이 바로 수학이라는 사실을 알게 한다. 클래식 음악과 비트 음악이 수학적, 통계적 의미에서 어떤 다른 데이터로 구성되었 길래 다른 음악을 만드는 지에 대해 의문을 가져보게 함으로써 우리의 실생활과 수학이 밀접하게 연결되어 있음을 알게 한다.

먼저 하나의 음악파일을 저장한다. 저장한 파일의 Directory를 현재 Directory로 설정한다. SetDirectory ["c:＼khs"]

현재의 Directory를 확인한다.

Directory□

1. wav로 저장된 소리("봄이오면")를 현재 사용중인 nb파일로 불러온다.

Import["1.way"]

1.wav로 저장된 소리를 들어본다.

Show[%];

1.wav라는 파일을 text파일로 바꾸어 저장한다.

Show[%]< <bbb.txt;

text파일의 내용을 입력파일의 형태로 보여준다. 평면상의 수 많은 점들의 좌표가 소리를 만든다는 것을 알 수 있다.

!!bbb.txt

2. 일차변환의 지도를 위한 모델링
Mathematica로 만든 여러 가지 모델을 이용하여 일차변환이 나타내는 행렬의 개념과 각 행렬이 나타내는 의미 및 합성변환의 뜻을 이해한다.

다음의 내용은 고등학교 교육과정에 나오는 일차변환의 내용을 가지고 여러 가지를 생각할 수 있는 부분 중에서 다소 다루기 힘든 부분을 고려한 것이다. 행렬의 각 원소들의 변환에서 각각 어떤 역할을 하는지를 확인하고 이를 3차원의 공간까지 확장하여 다양한 변화를 관찰함으로써 더욱 발전적인 요소들을 학습자 스스로 창의적으로 유도할 수 있도록 한 자료이다.

먼저 2차원의 공간에서 생각해보자.

임의의 2×2 matrix를 정의한다

 

원과 임의의 함수를 그리기 위한 데이터를 매개변수로 나타낸다.

 

임의의 이름으로 재정의 한다.

In := input01 = para01 ; input02 = parg02;

변환된 자료의 이름을 정의한다

In := output01 = Flatten[ matrix. input01];

In := output02 = Flatten[ matrix. input02];

원본(input01, input02)를 그리고 하나의 좌표평면에 나타낸다.

In := inplot01 = ParametricPlot[input01], {t, 0, 2 π},

PlotRange→ {{-3, 3}, {-3,3}}, AspectRatio→1,

PlotStyle→{Thickness[0.01], Hue[0.7]},

AxesLabel→Thickness[0.01]

DisplayFunction→Identity];

In := inplot02 = ParametricPlot[Flatten[inpun02],{t, 0, 2 π},

PlotRange→{{-3, 3}, {-3, 3}}, AspectRatio→1,

PlotStyle→Thickness[0.01], Hue[0.9]},

AxesLabel→Thickness[0.01],

DisplayFunction→Identity];

In := inplot = Show[{input01, input02},

PlotRange→ {{-3, 3}, {-3,3}}, AspectRatio→1,

DisplayFunction→Identity]

변환된 모습을 (output01, output02)를 그리고 하나의 좌표평면에 나타낸다.

변형전과 변형 후의 그림을 같이 보여준다.

In := Show[GraphicsArray[{inplot, outplot}, InmageSize→600]];

 

행렬의 구성원소를 변화시켜 다양한 변화를 관찰한다.

 

 

 

3. 파선의 시각화를 위한 모델링
반경이 a인 파선(cycloid)의 그래프를 Block을 이용하여 만든다. 파선(Cycloid)의 매개변수 방정식은 x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)이다. 이 때 실행을 하면 Block문의 Input문장에 따라 화면으로부터 직접 파선의 반경을 입력하면 그 입력된 값을 a로 하는 파선을 애니메이션으 로 그린다.

Local kernel Input에 1을 입력한다. 애니메이션으로 그려진 그림 중에 하나를 소개한다.

 

Local kernel Input에 2를 입력한다. 애니메이션으로 그려진 그림 중에 하나를 소개한다.

 

a를 변수로 하는 Module함수 cyc[ ]를 이용하여 반경이 3인 파선을 그려보자.

cys[a_]:=Module[{}, al=a;

ParametrciPlot[{a(t-Sin[t],a(1-Cos[t])},{t,-30,30},PlotRange->{{-30,30},{-10,10}},

AspectRatio->Automatic, PlotStyle->{Thickness[0.01], Hue[0.1*a]}};]

cys[3]

 

반경 b인 원의 안쪽에 반경 r인 원이 붙어 돌면서 그리는 파선을 그려보자. 먼저, b와 r을 변수로 하는 Module함수 hypocyc[b, r]을 만들고 hypocyc[10, 2]

 

hypocyc[10, 3]을 실행하여 위의 그림과 비교해 보고 바퀴 안의 파선에서 변수의 개념을 이해한다.

Block문의 Input문장에 따라 화면으로부터 직접 바퀴 위 파선에서 고정되어 있는 바퀴의 반경이 1일 때 바퀴 위에서 움직이는 원의 반경을 입력하면 그 입력된 값에 따라 바퀴 위 파선을 애니메이션으로 그린다. 구체적으로 다음의 예들을 살펴보자. 두 원의 반경이 같은 경우를 소개한다.

 

Block문의 Input문장에 따라 화면으로부터 직접 1/2을 입력하면 바퀴 위 파선을 애니메이션으로 그린다. 애니메이션으로 그려진 그림 중에 하나를 소개한다.

 

· Block문의 Input문장에 따라 화면으로부터 직접 2를 입력하면 바퀴 위 파선을 애니메이션으로 그린다. 애니메이션으로 그려진 그림 중에 하나를 소개한다.

 

· 원이 아닌 임의의 다각형이 그리는 파선을 살펴보자. 예를 들어, Local kenel Input에 4를 입력한다. 이 때 Input문의 질문은 원이 아닌 다각형이 그리는 파선에서 임의의 다각형의 각의 수를 묻는다. 4각형이 돌 때 4각형의 한 꼭지점이 그리는 파선을 애니메이션으로 그린 그림 중에 하나를 소개한다.

 

Ⅳ. 결론 및 제언
조완영 외 1인(2000년)은 수학을 학습하면서 학생들이 겪게 되는 어려움으로

① 근본적으로 수학자체의 추상화되고 형식화된 특성 때문이다.

② 수학의 논리-연역적인 측면만을 지나치게 강조하고 있기 때문이다.

를 제시하면서, 수학학습에서 컴퓨터공학은 다음과 같은 역할을 할 수 있다고 하였다.

① 선수학습의 결손으로 인하여 학습이 이루어지지 못하는 경우에 선수학습의 결손을 보상해주는 역할을 함으로써 학습이 계속적으로 이루어 질 수 있게 해준다.

② 수학학습에서 정상적인 학습이 가능한 아동들에게는 보다 많고 다양한 경험을 제공해 줌으로써 이해의 폭을 넓고 깊게 해준다.

③ 다른 아동들보다 능력 있는 아동들에게는 지필 환경에서 제공해 주지 못하는 학습환경을 제공함으로써 아직 학습하지 않은 수학적인 내용들에 대해서 스스로 탐구 할 수 있게 해준다.

④ 단순한 계산에 투자되는 시간을 줄여 줌으로써 문제해결 능력과 같은 좀더 고등의 수학적 기능을 기르는데 더 많은 시간을 투자 할 수 있게 해준다.

Kulik, Bangert, Willarms는 초등학교 6학년부터 고등학교 3학년까지의 학생들에게 컴퓨터중심 수업이 미치는 영향에 관한 50여개의 개별적 연구를 종합하여 학업성취도와 컴퓨터에 관한 태도, 학과에 대한 태도, 수업에 관한 태도, 학습시간 등을 분석하였다. 그 결과 다음과 같이 내릴 수 있다.

① 컴퓨터를 활용하여 학습한 경우 학년에 관계없이 학습성취도가 향상되었다.

② 컴퓨터 활용 학습은 대학생보다는 중, 고등학생이 , 그 보다는 초등학생의 경우 성취도에서 더욱 효과적이었다.

③ 학습자들은 학습내용과 수업 그리고 컴퓨터활용에 관해 매우 긍정적인 반응을 보였다. ④ 수업, 학습시간의 단축을 가져왔다.

따라서 Mathematica을 활용하여 함수지도를 위해 도입한 소리 및 음악은 다음과 같은 점에서 수학학습에 도움이 된다고 생각한다.

① 학생에게 흥미를 갖게 하고 사고의 연결성을 발전시켜 동기유발의 효과를 얻을 수 있다. ② 복잡한 초월함수 도입을 단순화할 수 있다.

③ 추상적인 수학내용을 시각화, 청각화함으로써 학습을 다양하고 심도 있게 조절 할 수 있다.

④ 개념적 사고에 대한 구체적인 기초를 제공하게 되므로 무의미한 언어주의적 반응를 감소시키고 직관의 원리를 강조할 수 있다.

⑤ 학생들 자신의 자발적인 구성을 유도할 수 있다.

수학교실을 떠나고 있는 학생들을 다시 교실로 되돌리고, 그래서 학생들이 행복한 삶, 생산적인 삶을 살아갈 수 있도록 하는 촉매역할을 Technology가 할 수 있었으면 하는 바램이며, 이를 위하여 교사, 학생 그리고 교과서가 함께 변하지 않으면 국제경쟁사회에서 살아남기 힘들다는 의식을 가지고, 수학의 중요성을 강조하기 위해 다 함께 노력해야 함을 강조하고 싶다.

 

 

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참고문헌
구광조 · 오병승 · 류희찬 (1992), 수학교육 과정과 평가의 새로운 방향, 서울 : 경문사
김안현 · 김향숙 · 류재칠 · 신준용 · 이강래 · 표용수 (2000), 수학에서의 Mathematica 활용, 서울 : 경문사
김향숙 (2001), 평면변환기하에 있어서 Mathematica를 이용한 교수학습 방법, 수학교육, 40권 1호 pp.93-102.
류재구 (1998), Mathematica3.0, 서울 : 크라운 출판사
류희찬 · 유공주 · 조민식 (1999), 탐구형 소프트웨어를 활용한 기하학습내용의 구성방안탐색, 수학교육학연구발표대회논문집, pp.227-253
신동선 · 류희찬 (1998), 수학교육과 컴퓨터, 서울 :경문사
이청자, 김가연, 남숙자, 한재영(1999), 그래픽에 의한 수학적 조형물의 형성,수학교육학연구발표대회 논문집
박경미 (1997), 수학과 제7차 교육과정의 개정방향, 수학사랑, 통권 8호 pp.2-7
윤만식 (1993), 진리의 섬, 서울 : 웅진출판사
우정호 (1998), 학교수학의 교육적 기초 서울대학교 출판부
장진원 · 박달원 (2000), 컴퓨터보조수업(CAI)이 수학교과에 미치는 영향, 한국학교수학회논문집, 제3권 1호
표용수 · 김향숙 (2000), Mathematica를 활용한 미분기하학개론(제3판), 서울 경문사 13.
Alan J. Bishop(1993), On Determining New Goals for Mathematical Education, Learning from Computers : Mathematics Education and Technology, Springer-Verlag, 222-242.
Klotz,E. (1991), The Geometers Sketchpad[Software], Berkley, CA: Key Curriculum Press.
Larborede,J-M. (1990), CABRI Geometry[Software], France : Universit de Grenoble 1.
Wolfram S. (2000), Mathematica(4th, ed), Cambridge Univ. press.

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이력사항

김향숙
(Hyang Sook Kim )
인제대학교 자연과학대학 컴퓨터응용과학부 전사수학전공 (Deparonent of Computational Mathematics, School of Computer Aided Science, Inje University)

김영미
(Kim, Young-Mi )
신라대학교 자연과학대학 자연과학학군 수학과 (Department of Mathematics, Coollege of Natural Science, Silla University)